6.2 概率、统计解答题
命题角度1离散型随机变量的分布列与期望、方差
咼考真题体验?对方向
1. (2019北京? 17)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变 付方式之一.为了解某校学生上个月
.近年来，移动支付已成为主要支
A,B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了
5人，样本中仅使用 A和仅使用B的学生的支付
100人，发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有 金额分布情况如下：
支付金额(元) 支付方式 仅使用A 仅使用B
(0,1 000] (1 000,2 000] 大于2 000 18人 10人 9人 14人 3人 1人 (1) 从全校学生中随机抽取 1人，估计该学生上个月 A，B两种支付方式都使用的概率 ；
1
(2) 从样本仅使用 A和仅使用B的学生中各随机抽取 1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于 000元的人数，求X的分布列和数学期望；
(3) 已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化 发现他们本月的支付金额都大于
.现从样本仅使用 A的学生中，随机抽查3人，
A的学生中本月支
2 000元根据抽查结果，能否认为样本仅使用
付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由.
解 (1)由题意知，样本中仅使用 A的学生有18+9+3=30人，仅使用B的学生有10+14+1=25人，A，B 两种支付方式都不使用的学生有
5人.
1
故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有 100- 30-25-5=40人.
所以从全校学生中随机抽取
1人，该学生上个月 A,B两种支付方式都使用的概率估计为
一=0. 4
(2) X的所有可能值为0,1,2
记事件C为“从样本仅使用
A的学生中随机抽取 1人，该学生上个月的支付金额大于 1000
1人，该学生上个月的支付金额大于 1000 元”
元”，事件D为“从样本仅使用 B的学生中随机抽取
由题设知,事件C, D相互独立,
且 P(C =一=0. 4, P( D)=——=0. 6. 所以 F(X=2) =RCD=RC)P(D=O. 24,
F(X=1)=RC D
=RC)F()+R)F(D
=0.4X(1 -0. 6) +(1 -0. 4) X 0. 6=0.52,
F(X=0)=R)=P()R)=0.24.
所以X的分布列为
X P
0 0.24 1 0. 52 2 0. 24 故 X 的数学期望 日 X) =0X 0. 24+1 X 0. 52+2X 0. 24=1.
(3)记事件E为“从样本仅使用 A的学生中随机抽查 3人，他们本月的支付金额都大于
2000
假设样本仅使用 A的学生中，本月支付金额大于 2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数
2
据得P(E)=- ——.
答案示例1：可以认为有变化?理由如下：
P( E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生 ? 一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于
2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.
答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下：
事件E是随机事件，P(曰比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有 变化?
2. (2019天津? 16)设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为-.假定甲、乙两位 同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立
(1) 用X表示甲同学上学期间的三天中
7:30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望
(2) 设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在 天数恰好多2”，求事件M发生的概率.
7:30之前到校的
解 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立
，且每天7:30之前到校的概率均为-，
故 X~B3,-，
从而 F(X=k)= k=0,1,2,3 .
所以,随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 P
— — — — 3
随机变量X的数学期望E(X)=3 X-=2.
(2)设乙同学上学期间的三天中
7:30之前到校的天数为 Y,则Y?B3,_,且M=X=3, Y=1｝ U
｛X=2,Y=0｝.由题意知事件｛X=3, Y=1｝与｛X=2, Y=0｝互斥,且事件｛X=3｝与｛Y=1｝,事件｛X=2｝与｛ Y=0｝均 相互独立，从而由(1)知P(M=R｛ X=3, Y=1｝ U
｛X=2, Y=0｝) =RX=3, Y=1)+P(X=2, Y=0)=F(X=3)F(Y=1)+RX=2)P(Y=0) j - - — 一.
3.
200件,每一箱产品在交付用户之前要对产
(2018全国I ? 20)某工厂的某种产品成箱包装 ，每箱
品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取 20件作检验，再根据 检验结果决定是否对余下的所有产品作检验 产品是否为不合格品相互独立
.设每件产品为不合格品的概率都为 p(0 vpvl),且各件
.
(1) 记20件产品中恰有2件不合格品的概率为 f(p),求f(p)的最大值点po.
(2) 现对一箱产品检验了 20件,结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产 品的检验费用为 2元,若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付
25元的赔偿费用
① 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 ② 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据
厂(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为
X,求EX
，是否该对这箱余下的所有产品作检验 ？
f(p)= p(1 -p).
18
2
17
2 18
因此 f' (p)= [2 p(1 -p) - 18p (1 -p)]
4
=2 p(1-p) (1 -10p).
17
令 f (p) =0,得 p=0. 1.当 p� (0,0 . 1)时,f' (p)>0;
当 p� (0.1,1)时,f (p)<0.
所以f ( p)的最大值点为 3=0. 1.
⑵由(1)知，p=0. 1.
① 令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y~EB180,0 . 1),
X=20X2+25Y,即 X=40+25Y.
所以 EX=E40 +25Y) =40+25EY=490.
②
如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 400元.
由于EX：400,故应该对余下的产品作检验 .
4. (2017山东? 18)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响 ，具体
方
法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组 ，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示.通 过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用
，现有6名男志愿者
A, A,A, A,A, A和4名女志愿者B,B, E3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙 种心理暗示.(1 )求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A但不包含B的概率.
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数
，求X的分布列与数学期望 E(X).
解 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A但不包含 B的事件为 M则RM— —.
5
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