2020高考数学文新课标大一轮温习层级快练第五章平面向量与复数作业33

专题层级快练(三十三)

1．已知向量a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，那么|a－b|的最大值为( ) A．1 C.3

B.2

D．2

答案 B

解析 ∵a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，∴a－b＝(0，sinθ－cosθ)． ∴|a－b|＝

02＋（sinθ－cosθ）2＝

1－sin2θ.

∴|a－b|最大值为2.应选B.

2．(2019·潍坊二模)设a，b是非零向量，假设函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图像是一条直线，那么必有( ) A．a⊥b C．|a|＝|b| 答案 A

解析 f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图像是一条直线，即f(x)的表达式是关于x的一次函数或常函数．而(xa＋b)·(a－xb)＝－x2a·b＋(a2－b2)x＋a·b，故a·b＝0，即a⊥b，故应选A.

→→→

3．已知A，B是圆心为C，半径为5的圆上两点，且|AB|＝5，则AC·CB等于( ) 5A．－

2C．0 答案 A

→→→→→→

解析 由于弦长|AB|＝5与半径相同，则∠ACB＝60°?AC·CB＝－CA·CB＝－|CA|·|CB|·cos∠ACB＝－55·5·cos60°＝－.

2

→→→→→

4．(2019·保定模拟)假设O是△ABC所在平面内一点，且知足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状是( )

A．等腰三角形 C．等腰直角三角形 答案 B

→→→→→→→→→→→→→→→→→→解析 OB＋OC－2OA＝OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB－AC，∴|AB＋AC|＝|AB－AC|?→→→→→→

|AB＋AC|2＝|AB－AC|2?AB·AC＝0，∴三角形为直角三角形，应选B.

B．直角三角形 D．等边三角形 5B. 253D. 2B．a∥b D．|a|≠|b|

→→

5．(2021·山东)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD＝( ) 3

A．－a2

23

C.a2 4答案 D

→→→→→→→→→→→→→→

解析 在菱形ABCD中，BA＝CD，BD＝BA＋BC，因此BD·CD＝(BA＋BC)·CD＝BA·CD＋BC·CD＝a2＋13a×a×cos60°＝a2＋a2＝a2.

22

→→→→→

6．(2019·银川调研)假设平面四边形ABCD知足AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，那么该四边形必然是( ) A．直角梯形 C．菱形 答案 C

→→→→→→→解析 由AB＋CD＝0得平面四边形ABCD是平行四边形，由(AB－AD)·AC＝0得DB·AC＝0，故平行四边形的对角线垂直，因此该四边形必然是菱形，应选C.

→→→→→

7．如下图，在△ABC中，AD⊥AB，BC＝3 BD，|AD|＝1，则AC·AD＝( )

B．矩形 D．正方形 3B．－a2

43D.a2 2

A．23 C.3 3

B.3 2

D.3 答案 D

→→→→→→→→→→→→→→→→

解析 AC·AD＝(AB＋BC)·AD＝AB·AD＋BC·AD＝BC·AD＝3 BD·AD＝3|BD||AD|cos∠BDA＝3|AD|2＝3. →→→

8．在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c，且a·b＝b·c＝c·a，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形 答案 D

解析 因为a，b，c均为非零向量，且a·b＝b·c，得b·(a－c)＝0?b⊥(a－c)． 又a＋b＋c＝0?b＝－(a＋c)，

∴[－(a＋c)]·(a－c)＝0?a2＝c2，得|a|＝|c|. 同理|b|＝|a|，∴|a|＝|b|＝|c|.

B．直角三角形 D．等边三角形

故△ABC为等边三角形．

9．(2016·天津)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E别离是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点→→

F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为( ) 5A．－

81C. 4答案 B

13

解析 如图以直线AC为x轴，以A为坐标原点成立平面直角坐标系，那么A(0，0)，C(1，0)，B(，)，F(1，

223)， 4

1B. 811D. 8

33→→1

∴AF＝(1，)，BC＝(，－)．

422→→131

∴AF·BC＝－＝，选B.

288

1

10．(2019·福州四校联考)已知向量a，b为单位向量，且a·b＝－，向量c与a＋b共线，那么|a＋c|的最小值为( )

2A．1 3C. 4答案 D

解析 方式1：∵向量c与a＋b共线，∴可设c＝t(a＋b)(t∈R)，∴a＋c＝(t＋1)a＋tb，∴(a＋c)2＝(t＋1)2a2＋2t(t133

＋1)a·b＋t2b2，∵向量a，b为单位向量，且a·b＝－，∴(a＋c)2＝(t＋1)2－t(t＋1)＋t2＝t2＋t＋1≥，∴|a＋c|≥，

242∴|a＋c|的最小值为

3

，应选D. 2

1B. 2D.3 2

1

方式2：∵向量a，b为单位向量，且a·b＝－，∴向量a，b的夹角为120°，在平面直角坐标系中，不妨设向量

2131313t

a＝(1，0)，b＝(－，)，则a＋b＝(，)，∵向量c与a＋b共线，∴可设c＝(t，t)(t∈R)，∴a＋c＝(1＋，

22222223

t)，∴|a＋c|＝ 2

t23t2（1＋）＋＝

24

t2＋t＋1≥

33

，∴|a＋c|的最小值为，应选D.22