绵阳南山中学高2016届2014年12月月考数学试题参考答案
1-5：BDCCD 6-10：ABACB
11.10 12.2 13.23 14.8 15.②③④
【解析】对于①，由双曲线的定义可知，动点P的轨迹为双曲线的一支，所以①不正确；对于②，由OP?1(OA?OB)，可知点P为弦AB的中点，连结CP，则有CP?AB即2CP?PA，而A,C均为定点，所以P点的轨迹是以AC为直径的圆，所以②正确；对于③，
设C1,C2的离心率分别为
e1,e2cos2??sin2?1，则有e1??cos?cos?，
sin2?(cos2??sin2?)sin?||22221sin??sin?tan?cos?cos???e1，所以③正确；e2???cos?sin?sin?sin?对
于
2④，设动点
P(x,y，则由
|PF1|?|PF2|?a2(a?0)可得
(x?1)?y2?x(?21y)?2，将a?2P?(?x?,y代入等式左边可得
(?x?1)2?(?y)2?(?x?1)2?(?y)2?(x?1)2?y2?(x?1)2?y2?a2，所以动点P的轨迹关于原点对称，即④正确；综上可知，真命题的序号是②③④.
考点：1.双曲线的定义；2.动点的轨迹问题；3.双曲线的离心率.
16（1）设圆心的坐标为C(a,?2a)，
22则(a?2)?(?2a?1)?|a?2a?1|22，化简得a?2a?1?0，解得a?1． 2分
?C(1,?2)，半径r?|AC|?(1?2)2?(?2?1)2?2． 4分
?圆C的方程为(x?1)2?(y?2)2?2． 5分
（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x?0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件。 7分 ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y?kx，由题得
|k?2|3?1，解得k??，
41?k23?直线l的方程为y??x． 9分
43综上所述：直线l的方程为x?0或y??x． 10分
4
- 5 -
17.
（1）据直方图知组距为10，由(2a?3a?7a?6a?2a)?10?1， 解得a?1?0.005． 2分 200（2）成绩落在?50,60?中的学生人数为2?0.005?10?20?2 ， 成绩落在?60,70?中的学生人数为3?0.005?10?20?3． 5分
（3）记成绩落在?50,60?中的2人为A1，A2，成绩落在?60,70?中的3人为B1，B2，B3，则从成绩在[50，70）的学生中任选2人的基本事件共有10个， 即（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）． 8分 其中2人的成绩都在?60,70?中的基本事件有3个，即（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）．
9分
故所求概率为P?3． 10分 1018解：（1）设动圆圆心为M(x，y)，半径为R．
由题意，得MO1?3?R，MO2?33?R， (1分)
∴MO1?MO2?43, 由椭圆定义知M在以O1，O2为焦点的椭圆上， (3分) ，c?2，∴b?a?c?12?4?8． (4分) 且a?23x2y2∴动圆圆心M的轨迹方程为??1． (5分)
128(II) 由（I）知动圆圆心M的轨迹是椭圆，它的两个焦点坐标分别为O1(?2,0)和O2(2,0) 设P(x,y)是椭圆上的点，由kPO1?kPO2?1得
22222yy??1,(x??2) (8分) x?2x?2即x?y?4(x??2)，这是实轴在x轴，顶点是椭圆的两个焦点的双曲线，它与椭圆的交点即为点P。由于双曲线的两个顶点在椭圆内，根据椭圆和双曲线的对称性可知，它们必有四个交点.
即圆心M的轨迹上存在四个点P，使直线PO1与PO2的斜率kPO1?kPO2?1. (10分)
19.由题意知：|AQ|?|AF|，??PQF?90，?A为PF的中点，
?
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p?F(,0),2pp?A(,1)，且点A在抛物线上，代入得1?2p??p?2
44所以抛物线方程为y2?22x． 4分 （2）设A(x,y)，y2?2px，
根据题意：?MAF为锐角?AM?AF?0且m?p 2p?x,?y)， 2pppmAM?AF?0?(x?m)(x?)?y2?0?x2?(?m)x??y2?0
2223ppm?0对x?0都成立 6分 ?y2?2px， 所以得x2?(?m)x?223ppm3pm2mp3pm22?m)x??(x??)??(?)?0 令f(x)?x?(2242242对x?0都成立 7分
m3p3pmp3pm2?0，即m??(?)?0成立， （1）若?时，只要使
242242p9p3p22?m?整理得：4m?20mp?9p?0?，且m?， 2223p9p?m?所以． 8分 22m3p3pmp?0，即m??0成立，得m?0 （2）若?，只要使
24223p所以0?m? 9分
29pp由（1）（2）得m的取值范围是0?m?且m?． 10分
22AM?(m?x,?y),AF?(
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