大学自主招生数学试题
复旦大学2003年暨保送生考试数学试题
一、填空题(本大题共80分，每题8分) 1．函数y?2
12xf(t?x)，当x=1时，y?t222
?t?5，则f(x)＝________________．
2
2．方程x+(a?2)x+a+1?0的两根x1,x2在圆x+y?4上，则a?_______________．
3．划船时有8人，有3人只能划右边，1人只能划左边，共有________种分配方法． 4．A＝{x|log2(x?4x?4)>0}，B＝{x||x+1|+|x?3|≥6}，则A?B=_______________． 5．数列{an}的前n项和为Sn，若ak=k·pk(1?p),(p≠1)，则Sk＝______________． 6．若(x?1)2+(y?1)2?1，则
y?1x?32
的范围是___________________．
o
7．边长为4的正方形ABCD沿BD折成60二面角，则BC中点与A的距离是_________． 8．已知|z1|?2，|z2|?3，|z1+z2|?4，则
z1z2?______________．
9．解方程xlogax?xan32，x＝________________．
10．(a>0)，limann??2?an＝______________．
二、解答题(本大题共120分)
11．已知|z|＝1，求|z2+z+4|的最小值．
12．a1,a2,a3,…,an是各不相同的自然数，a≥2，求证：(
13．已知sin??cos??
14．一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数y?x1?x21a1)?(a1a2)?(a1a3)???(a1an)?2．
a32，cos??sin??2，求tan??cot?的值．
(x>0)的图象上，
第 21 页 共 52 页
大学自主招生数学试题
求此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值．
15．一圆锥的底面半径为12，高为16，球O1内切于圆锥，球O2内切于圆锥侧面，与球O1外切，…，以
次类推，
(1) 求所有这些球的半径rn的通项公式；
(2) 所有这些球的体积分别为V1,V2,…,Vn,…．求lim(V1?V2???Vn)．
n??
16．已知数列{an}的前n项和为Sn，an?
17．定义闭集合S，若a,b?S，则a?b?S，a?b?S．(1) 举一例，真包含于R的无限闭集合．(2) 求
证对任意两个闭集合S1,S2?R，存在c?R，但c?S1?S2．
1(n?1?n)(n?1?n?1)(n?n?1)，求S2003．
第 22 页 共 52 页
大学自主招生数学试题
同济大学2003年暨保送生考试数学试题
一、填空题
1．f(x)是周期为2的函数，在区间[?1,1]上，f(x)?|x|，则f(2m?32)?___(m为整数)．
2．函数y?cos2x?2cosx,x∈[0,2?]的单调区间是__________________． 3．函数y?2x2?x2的值域是__________________．
4．
5．函数y＝f(x)，f(x+1)?f(x)称为f(x)在x处的一阶差分，记作△y，对于△y在x处的一阶差分，称为f(x)在x处的二阶差分△2y，则y＝f(x)＝3x·x在x处的二阶差分△2y?____________． 6．
7．从1～100这100个自然数中取2个数，它们的和小于等于50的概率是__________． 8．正四面体ABCD，如图建立直角坐标系，O为A在底面的投
M点坐标是_________，CN与DM所成角是_________． 9．双曲线x2?y2＝1上一点P与左右焦点所围成三角形的面积
___________． 10．椭圆
x2z A M O C N 影，则
4?y23?1在第一象限上一点P(x0,y0)，若过P的切线B 与坐
D x y 标轴所围成的三角形的面积是_________． 二、解答题 11．不等式log22x?2kx?k3x?6x?4bx?c22R都成立，求k的取值范围． ?0对于任意x∈
121212．不动点，f(x)?13．已知y?x?asin??cos?．(1) ,3为不动点，求a,b,c的关系；(2) 若f(1)?，求f(x)的解析式；(3)
2?sin??cos?(??[0,2?))，(1) 求y的最小值；(2) 求取得最小值时的?．
14．正三棱柱ABC－A1B1C1，|AA1|?h，|BB1|?a，点E从A1出发沿棱A1AA 后沿AD运动，∠A1D1E??，求过EB1C1的平面截三棱柱所得的截面与?的函数关系式． 15．已知数列{an}满足an?1?bn＝an?an?1(n=2,3,…)，
nC D B 运动，面积S
an?an?12．
A1
D1 B1
C1
(1) 若求bn；
(2) 求?bi；(3) 求liman．
i?1n??16．抛物线y＝2px，(1) 过焦点的直线斜率为k，交抛物线与A,B，求|AB|．(2) 是否存在正方形ABCD，
使C在抛物线上，D在抛物线内，若存在，求这样的k，正方形ABCD有什么特点？
2
第 23 页 共 52 页
大学自主招生数学试题
上海交通大学2004年保送生考试数学试题(90分钟)2004.1.3
一、填空题：
1．已知x,y,z是非负整数，且x+y+z=10，x+2y+3z=30，则x+5y+3z的范围是__________． 2．长为l的钢丝折成三段与另一墙面合成封闭矩形，则它的面积的最大值是_________． 3．函数y?sinx?cosx（0?x??2）的值域是_____________．
4．已知a,b,c为三角形三边的长，b=n，且a≤b≤c，则满足条件的三角形的个数为________． 5．x2?ax?b和x2?bx?c的最大公约数为x?1，最小公倍数为x3?(c?1)x2?(b?3)x?d，则
a=______,b=_______,c=_______,d=__________．
6．已知1?a?2,则方程a?x22?2?x的相异实根的个数是__________．
7．(72004?36)818的个位数是______________．
8．已知数列?an?满足a1?1,a2?2，且an?2?3an?1?2an，则a2004=____________． 9．n?n的正方格,任取得长方形是正方形的概率是__________． 10．已知6xyzabc?7abcxyz,则xyzabc=_______________． 11． 12．
二、解答题
1．已知矩形的长、宽分别为a、b，现在把矩形对折，使矩形的对顶点重合，求所得折线长．
2．某二项展开式中，相邻a项的二项式系数之比为 1：2：3：…：a，求二项式的次数、a、以及二项式
系数．
3．f(x)=ax4+x3+(5?8a)x2+6x?9a，证明：（1）总有f(x)=0；（2）总有f(x)≠0．
4．f1(x)?
5．对于两条垂直直线和一个椭圆，已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切，求椭圆中心的轨迹．
6．已知?bn?为公差为6的等差数列，bn?1?an?1?an(n?N)．
(1) 用a1、b1、n表示数列?an?的通项公式；
(2) 若a1??b1?a，a?[27,33]，求an的最小值及取最小值时的n的值．
1?xx?1，对于一切自然数n，都有fn?1(x)?f1[fn(x)]，且f36(x)?f6(x)，求f28(x)．
第 24 页 共 52 页
相关推荐：
loading