高等数学专升本专题一 极限1

专 题 一 极 限

知 识 框 架

极 限 类 型 在 其 他 章 节 中 的 使 用 “?单一成分和混合成分 第五章：反常积分敛散性的判定 ?”型 数列的极限 第十章：比值审敛法；收敛半径/区间/域 普通“00” “00”型 含有上限函数型 含有“”型 “1?”型 第十章：根值审敛法 极限的 幂指函数型 “00” 型 基本类型 “?0” 型 10?1 “???”型 0 ??? 含有倒数 “0??”型 第一章：渐近线 不含有倒数 “sin?;cos?”可分离型 （含有有界函数）不可分离型 型 抽象函数 导数定义 第三章：切线方程 的极限

一、极限的主要类型和运算方法

（一）“??”型 1. “

??”型常见的运算方法 类 型 方 法 例 题 只含有xa xa最高次项及最高次出现的位置 lim3x3?2x?1 x??6x2只含有ex，且为e?? ex最高次项及最高次出现的位置 3e3x?2exxlim?16e?2 ???3x单一成分 x只含有ax 最大的ax及其出现的位置 xlim2?4x???3x?4x?1 含有根式的非分式多项式 有理化，在看最高项的位置 xlim???x(x2?1?x) 只含有lnx 洛必达法则 limln(1?n)n???lnn x2含有ax、eax、x、lnx中xlim?1???x混合成分 洛必达法则 e?1，的某几个 limxx???2x?x ★注意： 含有“”的最高次，以开根号以后的最高次为准。涉及到系数比值时，也要注意系数是根号内的系

数。

例如：

xlim???x(x2?1?x)?xlimx????11x2?1?x2 3xlim3x???2x2?1?3x2?xlim3x????2x2?1?3x22?3

- 1 -

总结：含有ex的“??”型的判断方法 基本思路是判断ex的最高次项和位置即可。确切来说是判断“e??”的最高次项。也就是说，谁造成了

就判断谁的最高项。遇到“1e??的出现，

ex”可以采用代换。过程为：令1x?t，因为x?0，所以1x?t?? 例 子 类 型 处 理 方 式 结 果 ex?11xxlim???ex?1 “??”型 e造成了e??的出现，判断ex的最高项 (ex)xlim?1最高次1，分子分母都有???(ex)1?1系数比值?1 1?ex“?1?(ex)1最高次为2，在分母x??xxlim???1?e2x ?”型 e造成了e的出现，判断e的最高项 xlim???1?(ex)2?0 令11x?t，x?0?， x?t?+? 1右极限为： 1lim1-exx?01 1-ext1?(et)1最高次1，分子分母都有1+ex“?lim1?lim1?etlim???1?(et)1系数比值??1 ?”型 x?01+et???1?et xet造成了e??的出现，判断et的最高项 令11x?t，x?0?， x?t?+? 1右极限为： x1lim1?ext1?et最高次为x?02 1?ex“?lim1?e?2?tlim???1?e2t?2，在分母0 ?”型 x?01?etlim1?ex???1?e2t et造成了e??的出现，判断et的最高项 1?e?x最高次为2，在分母e?x造成了e??xlim???e?x?e?2x “?”型的出现，判断e?x的最高项 xlim1?(e?x)1? ???e?x?(e?x)2?0 令1x?t，x?0?， 1x?t?-? 1左极限为： e?x?1t最高次为2，在分母limx?0 e?1x?1?t(e?)1?1e?2?12?e?1tlim???x“?e?xtlim???e?2t?1 (e?t)2?1?0 ?”型 xlim?0??1e?t造成了e??的出现，判断e?t的最高项

例1. 计算下列极限

2x?4xex?e?x（1） （3）(n?1)(n?2)(n?3)?...?(n?10)xlim???3x?4x?1（2）lim

x???ex?e?xnlim????n10 （4）ln(1?n)x2?1ln(1?2x)nlim???lnn

（5）xlim???ex?1（6）lim x???ln(1?3x) 2. “

??”型在各个章节知识点的应用 所 应 用 的 章 节 和 知 识 点 “??”型的类型 知 识 点 例 题 ?无穷级数，比值审敛法 判断级数的敛散性：（1）?1?（2）?n!n n?1n! n?12?n多项式 幂级数的收敛半径 求幂级数?2n2x的收敛半径 n?1n?1?交错级数：判断通项极限 判断级数的敛散性：?(?1)n?1(11) n?1n?1?n反常积分 ????x1xedx，???dxxlnx，?????dxe1x2e?xdx，?exln2x 含有ax、eax、x、lnx ?无穷级数，比值审敛法 判断级数的敛散性：?1?4n（1）?n（2）?8n n?13n ?n?18n★注意：

例2. 计算下列各题（注意“

??”的使用） ??（1）判断级数?1 （2）判断级数n?13?n?(2n)!n的敛散性 n?1(n!)2的敛散性 （3）判断广义积分???x1x2e?dx的敛散性

分析：

1（1）limun?13nn??u?lim3n?1?(n?1)?lim?n?3n?n3nln3?1ln31nnn??1n??3?1?(n?1)(?)?limn??3?3n?n?1?limn??3?3nln3?1?3ln3?33n?n- 2 -

[2(n?1)]!（2）limun?1[(n?1)!]2?limn??(2n)!?lim[2(n?1)]!n??[(n?1)!]2?(n!)2n??u(2n)!?lnim(2n?2)!(n!)2n??(n?1)!?(n?1)!?(2n)!? (n!)2?lim(2n?2)?(2n?1)?(2n)!n??[(n?1)?n!]?[(n?1)?n!]?n!?n!(2n)!?lim(2n?2)?(2n?1)n??(n?1)(n?1)(??)?4

（3）???x1x2e?dx??x2e?x?2xe?x?2e?x??1??(x2e?x???x??1?2xe1?2e?x??1)?

??[(limx22xe?1)?(lim2?1x???ex?e?1)?(xlim???ex?x???ex?2e)]

3. 一类特殊的

??”型：数列的极限 数列极限常见的运算方法：求和；裂项；夹逼 例3. 计算下列极限

（1）lim[1?2?...?n?1?2?...?(n?2)] （111n??2）lim[n??1?2?2?3?3?4?......?1n?n?1?]（3）lim11n?￥[n2+1+n2+2+1n2+3+...+1n2+n]

- 3 -