三角恒等式与三角不等式
一、基础知识
定义 1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
定义 2 角度制：把一周角 360 等分，每一等分为一度。
弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
若圆心角的弧长为 L，则其弧度数的绝对值 |α |= ,其中 r 是圆的半径。
L
360 度 =2π弧度。
r
定义 3
定理 1
定理 2
定理 3
定理 4
定理 5
定理 6
三角函数：在直角坐标平面内，把角 α 的顶点放在原点，始边与 x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取y
一个不同于原点的点 P，设它的坐标为 （ x,y），到原点的距离为 r,则正弦函数 sinα = ,余弦函数 cosα =
x ,
r
正切函数 tanα= y
，余切函数 cotα = x
，正割函数 secα=
r
,余割函数 cscα = r
r
.
x
y
x
y
同角三角函数的基本关系式，倒数关系：1
tanα =
,sinα =
1
， cosα = 1 ；
cot csc sec
商数关系： tanα =
sin , cot
cos ；
cos
sin
乘积关系： tanα × cos平方关系： sin2α +cos2α =sinαα=1, tan2 ,cotα ×sin α+1=sec2α=cosα , cot2α ；
α +1= csc2
α .
诱导公式（Ⅰ） sin(α +π)=-sin α , cos(π+α )=-cosα , tan(π+α)= tanα, cot(π+α )=cotα;
（Ⅱ） sin(- α )=-sinα , cos(-α )=cosα , tan(-α )=- tanα , cot (-α )=cotα ;
（Ⅲ） sin( π-α)=sinα , cos(π-α )=-cosα , tan=(π-α )=- tanα , cot(π-α )=- cotα ; （Ⅳ） sin =cosα , cos
=sinα , tan
=cotα（奇变偶不变， 符号看象限） 。
2
2
2
正弦函数的性质，根据图象可得 y=sinx（ x∈ R）的性质如下。
单调区间：在区间
2k
,2k
上为增函数，在区间 2k
,2k
3 上为减函数，
2
2
2
2
最小正周期： 2 .
奇偶性：奇函数
有界性：当且仅当 x=2kx+
时， y 取最大值 1，当且仅当 x=3k - 时 , y 取最小值 -1，值域为 [-1， 1]。
2
2
对称性：直线 x=k
+ 均为其对称轴，点（ k , 0）均为其对称中心。这里 k∈ Z.
2
余弦函数的性质，根据图象可得 y=cosx(x∈ R )的性质。
单调区间：在区间 [2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间 [2kπ-π, 2kπ]上单调递增。 最小正周期： 2π。 奇偶性：偶函数。
x=2kπ时， y 取最大
有界性：当且仅当 值
1；当且仅当 x=2kπ-π时， y 取最小值 -1。值域为 [-1 ， 1]。 对称性：直线 x=kπ均为其对称轴，点k
k∈ Z .
2 ,0 均为其对称中心。这里
正切函数的性质：由图象知奇函数
y=tanx(x
kπ+ )在开区间 (kπ- , kπ+ )上为增函数 ,
2
2 2
最小正周期为 π，值域为（ -∞， +∞），点（ kπ， 0），（ kπ+ ， 0）均为其对称中心。
2
两角和与差的基本关系式： cos(α
β )=cosα cosβ sin αsinβ , sin(α β)=sinα cosβ cosα sinβ ; tan(α
β )= (tan
tan
) .
(1 tan tan
)
两角和与差的变式： sin
2
sin
2
cos2
cos
2
sin( )sin( )
1
cos
2
sin
2
cos) 2 sin tan
2
cos( )cos( tan tan tan tan
tan tan
)
三角和的正切公式： tan(
tan
tan
1 tan tan
tan
定理 7
和差化积与积化和差公式 : sinα +sinβ =2sin
cos , sinα -sinβ =2sin
cos ,
2
2 2
2
sin
cosα+cosβ =2cos
2
cos
2
, cosα -cosβ =-2sin
2
2
,
定理 8
定理 9
定理 10
定理 11
定理 12
定理 13 定理 14 定理 15
定理 16
定理
17
sinα cosβ=
1
1
+β )-sin(α -β )],
2 [sin(α +β )+sin(α -β )],
cosα sinβ = [sin( α
2
cosαcosβ = 1 [cos(α +β )+cos(α -β )], sinα sin β=- 1 [cos(α +β )- cos(α -β )].
2
2
二倍角公式： sin 2α =2sinα cosα , cos2α=cos2α -sin 2α =2cos2α -1=1-2sin2α , tan2α = 2 tan .
(1 tan 2 )
三倍角公式及变式： sin 3 3sin
4sin
3
4cos3 3cos
s i n ( 6 0 1
， cos3 1
) s i n s i n ( 6 0
) ， cos(60i n 3 )cos cos(60
)
cos3
4
4
半角公式 :
sin =
(1 cos )
,
cos =
(1 cos )
,
2
2
2
2
tan
=
(1 cos ) = sin (1 cos ) .
2
(1 cos ) (1 cos ) sin
2 tan 1 tan2
万能公式 :
sin
2
2
2 tan
2
2
,
cos
1 tan
1 tan2 , tan
1 tan
2
.
2
2
辅助角公式：如果 a, b 是实数且 a2+b2
2
0，则取始边在 x 轴正半轴，终边经过点 (a, b)的一个角为 β ，
则 sin β=
b ,cosβ= a
，对任意的角 α.asinα +bcosα = (a 2
b 2
) sin( α +β ).
a 2 b 2 a2 b 2
正弦定理：在任意△ ABC 中有 a
b c 2R ，
sin A sin B sin C
其中 a, b, c 分别是角 A， B， C 的对边， R 为△ ABC 外接圆半径。
ABC 中有 a2
=b2
+c2
余弦定理：在任意△ -2bcosA，其中 a,b,c 分别是角 A，B， C 的对边。
射影定理：在任意△ ABC 中有 a b cosC c cosB ， b a cosC c cos A， c a cosB b cos A
欧拉定理：在任意△ ABC 中， OI
2
R
2
2Rr ，其中 O,I 分别为△ ABC 的外心和内心。
面积公式：在任意△ ABC 中，外接圆半径为 R,内切圆半径为 r，半周长 p a b c
1 2
则 S ah 1 ab sin C abc rp 2R2 sin A sin B sin C rR (sin A sin B sin C ) 2 a
2 4R 1
2 p( p a) ( p ( a c o tA b 2 c o tB c
2
) b) ( p c) c oCt 4
与△ ABC 三个内角有关的公式：
（ 1） sin AA sin B sin C
4cos cos B cos C
;
2 2 2
2
（ 2） cos A
cosB
cosC 1 4sin sin sin ;
2 2 2
tan C tan A tan B tan C; tan tan tan tan 1;
2 2 2 2
cot B cot C cot C cot A 1;
ABC
（ 3） tan A tan B （ 4） tan tan
AB BC CA
2 2 （ 5） cot Acot B
定理 18
（ 6） sin2 A sin 2B sin 2C 4sin Asin B sin C. 图象之间的关系： y=sinx 的图象经上下平移得 y=sinx+k 的图象；经左右平移得
y=sin(x+ )的图象（相位
1 变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，得到 y=sin x (0 )的图象（周期变换）；横坐标不变， 纵坐标变为原来的 A 倍，得到 y=Asinx 的图象（振幅变换）； y=Asin(
x+ )(
>0) 的图象（周期变换） 横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到 y=Asinx 的图象（振幅变换）； y=Asin( x+ )( , >0)(| A|
叫作振幅 )的图象向右平移 个单位得到 y=Asin x 的图象。
定义 4
函数 y=sinx
x
, 的反函数叫反正弦函数，记作 y=arcsinx(x∈ [-1, 1]) ，
2 2
函数 y=cosx(x∈ [0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作 y=arccosx(x∈ [-1, 1]).
函数 y=tanx
x
, 的反函数叫反正切函数。记作
y=arctanx(x∈ [-∞ , +∞ ]).
2 2
函数 y=cotx(x∈ [0, π]) 的反函数称为反余切函数，记作 y=arccotx(x∈[- ∞ , +∞ ]).
定理 19
三角方程的解集，如果
a∈ (-1,1)，方程 sinx =a 的解集是 { x|x=nπ+(-1) narcsina , n∈Z } 。
方程 cosx=a 的解集是 { x|x=2kx arccosa, k∈Z }. 如果 a∈ R ，方程 tanx=a 的解集是 { x|x=kπ+arctana, k∈ Z} 。
恒等式： arcsina+arccosa=
；ar ctana+arccota= .
2
2
定理 20
若干有用的不等式：
（1）若 x
0, ，则 sinx 2 （2）函数 y sin x 在 (0, ) 上为减函数；函数 y tan x 在 (0, ) 上为增函数。 x x 2 （3）嵌入不等式：设 A+B+C= π ，则对任意的 x,y,z∈ R， 有 x 2 y2 z 2 2 yz cos A 2xz cosB 2xy cosC 等号成立当且仅当 yzsinA=zxsinB=xysinC. 二、方法与例题 1 ．结合图象解题。 例 1 求方程 sinx=lg |x|的解的个数。 【解】在同一坐标系内画出函数 y=sinx 与 y=lg|x|的图象，由图象可知两者有 6 个交点，故方程有 6 个解。 2 ．三角函数性质的应用。 例 2 设 x∈(0, π), 试比较 cos(sinx)与 sin(cosx)的大小。 【解】 若 x , ，则 -1< cosx≤ 0，所以 cos x ,0 ， 2 2 所以 sin(cosx) ≤ 0,又 0 若 x 0, ，则因为 sinx+cosx= 2 sin(x+ )≤ 2 < ，所以 0 2 4 2 2 2 3 ； 所以 cos(sinx)>cos( -cosx)=sin (cosx). 2 综上，当 x∈ (0,π)时，总有 cos(sinx) 3．最小正周期的确定。 例 3 求函数 y=sin(2cos|x|)的最小正周期。 【解】 因为 cos(-x)= cosx，所以 cos|x|=cosx, 所以 T=2π是函数的周期； 4．三角最值问题。 例 4 已知函数 y=sinx+ 1 cos x ，求函数的最大值与最小值。 cos x 2 【解法一】 令 sinx= 2 cos , 1 2 cos 22 sin 4 2sin( ). 4 0 3 , 4 则有 y= 2 sin 因为 0 4 所以当 3 ，所以 4 2 3 ，所以 0 sin( 4 ) ≤1， 4 ，即 x=2kπ- (k∈ Z)时， ymin=0 ，当 ，即 x=2kπ+ (k∈ Z)时， ymax=2. 【解法二】 4 2 因为 y=sinx+ 1 cos x 22 4 2 2 2 222 2(sin 1 cos=2（因为 (a+b)≤ 2(a+b)）， ) x x 2 且 |sinx| ≤ 1≤ 1 所以当 x =sinx ，即 x=2kπ+ 2 2 当 1 cosx =-sinx ，即 x=2kπ- (k∈ Z)时 , ymin=0 。 1 cos 2 cos x ，所以 0≤ sinx+ 1 cosx ≤ 2， (k Z) , y =2 ∈ 时 max ， 2 5．换元法的使用。 例 5 求 y sin x cos x 1 sin x cos x 2 的值域。 2 2 【解】 设 t=sinx+cosx= sin x 2 ，所以 cos x 2 sin( x ). 4 2 因为 1 sin( x 又因为 t 2 ) 1, 所以 4 2 t 2. =1+2sinxco sx,所以 sinxco sx= t 2 1 x2 1 2 2 ，所以 y t 1 2 1 2 y 2 1 2 . 因为 t -1，所以 t 2 1 t 1 2 1 ，所以 y -1.所以函数值域为 y , , 1 2 2 1 1, 21 . 2 6．图象变换： y=sinx(x∈ R )与 y=Asin ( 例 6 x+ )( A, >0). 已知 f(x)=sin ( x+ )( >0, 0≤ ≤ π)是 R 上的偶函数，其图象关于点 M 3 是单调函数，求 和 的值。 ,0 对称，且在区间 4 0,上 2 【解】 由 f(x)是偶函数，所以 f(-x)= f(x)，所以 sin( x+ )=sin(- x+ = )， 所以 cos sinx=0，对任意 x∈R 成立。又 0≤ ≤ π，解得 ， 因为 f(x)图象关于 M 3 ,0 对称，所以 f ( 4 4 3 x) f ( 4 3 2 x) =0。 4 取 x=0 ，得 f ( 3 2 ) =0，所以 sin 3 4 4 0.所以 2 3 k (k∈Z )，即 = 2 (2k+1) (k∈Z ). 4 2 3 又 >0，取 k=0 时，此时 f(x)=sin(2x+ )在[0， ]上是减函数； 2 2 取 k=1 时， =2，此时 f(x)=sin(2x+ ≥ )在 [0， ] 上是减函数； 10 3 2 取 k=2 时， 综上， ，此时 f(x)=sin( x+ )在 [0， ] 上不是单调函数， = 2 2 2 或2。 3 7．三角公式的应用。 例 7 已知 sin( α-β)= ，sin( α+β-)= 55 ，且 α-β∈ , 2 2 ， α+β∈ 2 3 2 ,2 ，求 sin2α,cos2β的值。 13 13 【解】 因为 α-β∈ , 2 ，所以 cos( α-β)=- 1 sin ( ) 12 . 13 又因为 α+β∈ 3 2 ,2 ，所以 cos( α+β)= 1 sin ( ) 所以 sin2α=sin[( α+β)+(-βα)]=sin( α+β)cos( α-β)+cos( α+β)sin( α-β)= 120 12 . 13 , 169 cos2β=cos[( α +-β)(α-β )]=cos( α +β)cos( α-β )+sin( α +β)sin(α-β )=-1. 例 8 已知 △ ABC 的三个内角 A， B，C 成等差数列，且 0 因为 A=120 -C，所以 cos 【解】 A C 0 =cos(60 -C) 1 cos A 1 cosC 2 ，试求 cos cos B A C 2 的值。 ， 2 又由于 1 1 1 cos(1200 1 cos(120 0 C) cosC 0 0 cos A cosC C) cosC 0 0 cosC cos(120 C) = 2 cos60 cos(60C ) 2 cos(60 C ) 1 2 1 2 2 ， [cos120 0 cos(120 0 2C )] cos(120 0 2C ) 2 所以 4 2 cosA C 2 2 cos A C 2 3 2 =0。解得 cos A C 2 2 或 cos A C 3 2 。 8 又 cos A C 2 2 >0，所以 cos A 2 2 C 2 2 。 2 例 9 求证： tan20 +4 cos70 = 3 【解】 tan20 +4 cos70 = sin 20 cos20 sin 20 +4sin20 sin 20 4sin 20 cos20 sin 20 2 sin 40 cos20 sin 40 sin 40 cos20 cos20 sin 40 2 sin 30 cos10 cos20 3. sin 80 sin 40 2 sin 60 cos20 cos 20 cos20 例 10 证明： cos7 x 7cos5 x 21cos3 x 35cos x 64cos x 5 7
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