2020版高考数学二轮复习第2部分专题4立体几何第2讲空间向量与立体几何教案(理)

第2讲 空间向量与立体几何

[做小题——激活思维]

1．在正方体A1B1C1D1-ABCD中，AC与B1D所成角的大小为( ) A.π

6 B.π4 C.π π3

D.2

D [如图，连接BD，易证AC⊥平面BB1D， ∴AC⊥B1D，

∴AC与B1D所成角的大小为

π2

.] 2．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( A．45° B．135° C．45°或135°

D．90°

C [∵m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)， ∴|m|＝1，|n|＝2，m·n＝1，

∴cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝122＝2

，

设两平面所成的二面角为α，则 |cos α|＝

2

2

，∴α＝45°或135°，故选C.] 3．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c； ③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.

) - 1 -

其中真命题的序号是( ) A．①② C．①④

B．②③ D．②④

D [对于①，正方体从同一顶点引出的三条直线a，b，c，满足a⊥b，b⊥c，但是a⊥c，所以①错误；

对于②，若a∥b，a∥c，则b∥c，满足平行线公理，所以②正确；

对于③，平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，所以③错误；

对于④，由垂直于同一平面的两条直线平行，知④正确．故选D.]

1

4．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，2则l与α所成的角为________．

π

[设l与α所成的角为θ，则 6

1π?π?sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，又θ∈?0，?，∴θ＝.] 2?26?

[扣要点——查缺补漏]

1．证明线线平行和线线垂直的常用方法

(1)证明线线平行：①利用平行公理；②利用平行四边形进行平行转换；③利用三角形的中位线定理；④利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．如T3.

(2)证明线线垂直：①利用等腰三角形底边上的中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质．

2．证明线面平行和线面垂直的常用方法

(1)证明线面平行：①利用线面平行的判定定理；②利用面面平行的性质定理． (2)证明线面垂直：①利用线面垂直的判定定理；②利用面面垂直的性质定理． 3．异面直线所成的角求法 (1)平移法：解三角形．

(2)向量法：注意角的范围．如T1. 4．二面角的求法

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cos θ＝cos〈m，n〉＝m·n|m||n|

，如T2.

5．线面角的求法

sin θ＝|cos〈m，n〉|，如T4.

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