28.1锐角三角函数
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.初步了解正弦、余弦、正切概念.
2.能较正确地用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比.
3.熟记30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数. 【重点难点】
1.正弦，余弦，正切概念
2.用含有几个字母的符号组sinA、cosA、tanA表示正弦，余弦，正切 知识概览图
锐角三角函数锐角三角函数的定义：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数 特殊角的三角函数值
同角、互为余角的三角函数关系
sin2 A＋cos2 A＝1
sin(90°－A)＝cos A，cos(90°－A)＝sin A
锐角三角函数值的变化情 况及取值范围
新课导引
【生活链接】 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为了使出水口的高度为35 m，那么需要准备多长的水管?
【问题探究】 这个问题可以归结为：如右图所示，在Rt△ABC90°，∠A＝30°，BC＝35 m，求AB．根据“在直角三角形中，30°角边等于斜边的一半”，即
∠A的对边BC1??，可得
斜边AB2长的水管．在上面的问题中，如果使出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管? 教材精华
正弦(正切)值随角度的增大而增大 余弦值随角度的增大而减小
O＜sin α＜1，0＜cos α＜1(0°＜α＜90°) tanα＞0(0°＜α＜90°)，
中，∠C＝角所对的直
AB＝2BC＝70 m，也就是说，需要准备70 m
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知识点1 当锐角A的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的比都有唯一确定的值 (1)任意画一个锐角A，在锐角A的一边上任取一点B，自点B向另一边作垂线，垂足为C，从而得到一个Rt△ABC，如图28－1所示．Rt△ABC中的三条边每两边构成一个比，一共可以得到如下六个比例式：
BCACABACABBC，,,,,. ABABBCBCACAC(2)在锐角A的AB边上再另取一点B1，自点B1向另一边作垂线，垂足为C1，从而得到另一个Rt△AB1C1，Rt△AB1C1中的三条边也构成如下六个比例式：
B1C1AC1AB1ACABBC，,, 1，1,11. AB1AB1B1C1B1C1AC1AC1那么由两个直角三角形所得到的对应比有怎样的关系呢? ∵BC⊥AC，B1C1⊥AC1，∴BC∥B1C1，∴Rt△ABC∽Rt△AB1C1， ∴
B1C1BCB1C1BCAC1ACAC1AC?,?,?,?，?都为定值． AB1ABAC1ACAB1ABB1C1BC ∵点B1在AB边上是任取的，∴前面的操作方法具有普遍性．
∴当锐角A的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的比都有唯一确定的值．
知识点2 正弦和余弦的定义
由知识点1可知，当锐角A固定时，∠A的对边与斜边的比值是一个固定的值，∠A的邻边与斜边的比值也是一个固定的值．
在Rt△ABC中，设∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，如图28－2所示．
(1)我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦．记作sin A，即sin A＝
∠A的对边a?.
斜边c (2)我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦．记作cos A，即cos A＝
拓展 (1)正弦、余弦都是一个比值，是没有单位的数值． (2)正弦、余弦只与角的大小有关，而与三角形的大小无关． (3)sin A，cos A是整体符号，不能写成sin2A，cos2A．
(4)当用三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省略，如sin∠ABC． (5)sin2 A表示(sin A)2，而不能写成sin A2． (6)三角函数还可以表示成sinα，cosβ等．
探究交流 计算30°，45°，60°角的正弦、余弦值．
∠A的邻边b?.
斜边c 点拨 如图28－3所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°．
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由在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半， 可知BC＝AB，再由勾股定理AB2＝BC2＋AC2，
得AB2＝AC2＋(AB)2，即AC2＝AB2，∴AC＝12343212AB，
13ABABBC21AC32??，cos A＝∴sin A＝??, ABAB2ABAB2即sin 30°＝，cos 30°＝类似地，sin 60°＝
123． 231,cos 60°＝. 22 如图28－4所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°， ∴CB＝CA，由勾股定理AB2＝BC2＋AC2， 得AB＝2BC＝2AC，即 ∴sin A＝
BCAC12???． ABAB22∠B＝45°．
BC2AC22??，cos A＝，即sin 45°＝cos 45°＝. AB2AB22知识点3 正切的定义
由知识点1可知，当锐角A固定时，∠A的对边与邻边的比值是一个固定的值，如图28－5所示．
在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切．记作tan A，即tan
A＝
∠A的对边a?.
∠A的邻边b拓展 (1)正切是一个比值，是一个没有单位的数值． (2)正切只与角的大小有关，而与三角形的大小无关． (3)tan A是整体符号，不能写成tan2A．
(4)当用三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省略，如tan∠ABC． (5)tanA表示(tan A)，而不能写成tan A． (6)三角函数也可以表示成tan α等．
探究交流 计算30°，45°，60°角的正切值．
点拨 如图28－6所示，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°．
1AB31BC32 ∴BC＝AB，AC＝AB；∴tan A＝. ??22AC33AB2第3页
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类似地，tan B＝即tan 30°＝AC?3. BC3，tan 60°＝3. 3如图28－7所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，∠B＝45°． ∴∠A＝∠B，∴CA＝CB， ∴tan A＝
BCAC＝1，tan B＝＝1，即tan 45°＝1． ACBC知识点4 锐角三角函数的定义
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
(1)三角函数的实质是一个比值，这些比值只与角的大小有关，当角的大小确定时，它的三角函数值就确定了，也就是说，三角函数值随角度的变化而变化． (2)由定义可知，0＜sin A＜1，0＜cos A＜1，tan A＞0．
令y＝sin A，y＝cos A，y＝tan A，则函数中自变量的取值范围均为0°＜A＜90°． 函数的增减性分别为：
①y＝sin A在自变量的取值范围内，y随A的增大而增大． ②y＝cos A在自变量的取值范围内，y随A的增大而减小． ③y＝tan A在自变量的取值范围内，y随A的增大而增大．
(3)常见的特殊角的三角函数值如下表：
锐角α 三角函数 sinα cosα tanα 1 23 23 330° 45° 60° 2 22 23 21 23 1 拓展 (1)锐角的三个三角函数都是一个比值．当锐角不变时，该角的正弦、余弦、正切值也不变．
(2)锐角的三角函数值与角的两边的长短无关．
(3)当锐角A所在的三角形不是直角三角形时，可适当地作辅助线，构造出直角三角形，从而求出sin A，cos A，tan A．
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