人教版数学九年级下册第二十八锐角三角形导学案

知识点5 同角三角函数之间的关系

如图28－8所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，令∠A＝α，则sinα＝，cos a＝，tan α＝．

(1)平方关系．

a2b2a2?b2∵sinα＋cosα＝()＋()＝2，

ccc2

2

acbcabc2又∵a＋b＝c，∴sinα＋cos α＝2＝1．

c2

2

2

2

2

(2)商数关系． ∵

sin?abaasin?＝tan α． ?:?，tan α＝，∴

cos?ccbbcos?2

2

2

拓展 对公式sinα＋cos α＝1(α为锐角)的理解与应用要注意：sinα代表的含义是sinα的平方(即比值的平方)，书写格式应为sin2α，而不是sinα2．

知识点6 互为余角的三角函数关系 观察下列等式：

sin 30°=cos 60°＝，sin 45°＝cos 45°＝ cos 30°=sin 60°＝

122． 232，cos 45°＝sin 45°＝． 22 不难发现等式有下面三个特点：(1)三角函数名称互换，即正弦变余弦，余弦变正弦；(2)角度互余；(3)三角函数值相等．

上述规律可以推广到任意锐角，即sin A＝cos(90°－A)，cos A＝sin(90°－A)． 用语言叙述上述规律为：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．

拓展 对公式sin A＝cos(90°－A)和cos A＝sin(90°－A)的理解要注意以下两点： (1)∠A为锐角．

(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的邻边与斜边的比，实际上就是∠B(即90°－∠A)的对边与斜边的比．

规律方法小结 求锐角三角函数值时，应构造一个直角三角形，运用数形结合思想来解决数量问题． 课堂检测

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基础知识应用题

1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则cos B的值为 ( ) A. B． C． D． 2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则BC：AC等于 ( ) A．3：4 B．4：3 C．3：5 D．4：5

3、在Rt△ABC中，如果各边都缩小4倍，则锐角A的正切值 ( )

A．缩小4倍 B．扩大4倍 C．没有变化 D．不能确定 4、如图28－10所示，在Rt△OPQ中，求sin P，cos P，sin Q，cos Q的值．

5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5． (1)求AB的长；

(2)求sin A，cos A的值； (3)求sin2 A＋cos2 A的值； (4)比较sin A与cos B的大小； (5)比较tan A与

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4535433435sinA

的大小． cosA

6、在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ A． B．123，则cos B的值为 ( ) 2332 C． D．

232 7、sin 30°＋cos 60°－cos 45°－tan 60°2tan 30°＝ ． 8、若sin α＝2m－3(α为锐角)，求m的取值范围．

综合应用题

9、在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，0)和点B(0，－4)，则cos∠OAB等于 ( )

A． B．－ C． D．

10、如图28－12所示，已知△ABC的两边长AC＝3，AB＝5，且第三边长BC为关于x的方程

35453434x2－4x＋m＝0的两个正整数根之一，求sin A的值．

11、已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个根分别是一个直角三角形两锐角的余弦值，

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且－n＝

m?1，求m，n的值． 512、已知△ABC的三边a，b，c中，b＝5，c＝3，锐角θ的正弦值是关于x的方程5x2－15x－

ax＋3a＝0的一个根，试求a的取值范围．

13、已知0°＜θ＜90°，且关于x的方程x2－2xtan θ－3＝0的两个根的平方和等于10，求以tan θ，

14、如图28－13所示，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AB－AC＝2－2，求BC的长．

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1为根的一元二次方程． sin?