10-9随机变量的数字特征与正态分布(理)
基础巩固强化
1.(2011·烟台模拟)设随机变量ξ1<ξ<0)＝( )
1
A.＋p 2C．1－2p [答案] B
[解析] ∵ξ～N(0,1)， ∴P(ξ<－1)＝P(ξ>1)＝p，
11
∴P(－1<ξ<0)＝[1－2p(ξ>1)]＝－p.
22
2．(2012·浙江嘉兴模拟)甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生考试，若甲、乙能2
通过面试的概率都是，则面试结束后通过的人数X的数学期望是( )
3
4A. 3C．1 [答案] A
[解析] 依题意，X的取值为0、1、2. 221
且P(X＝0)＝(1－)×(1－)＝，
339
B.11
91B.－p 2D．1－p
服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，则P(－
8D. 9
P(X＝1)＝×(1－)＋(1－)×＝， P(X＝2)＝×＝. 144124
故X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝，选A.
99993
3
3．(2011·盐城模拟)某人射击一次击中的概率为，经过3次射击，此人至少有两次击
5中目标的概率为( )
A.C.81 12536 125
B.D.54 12527 125
2233
49
2323232439
[答案] A
1
[解析] 该人3次射击，恰有两次击中目标的概率是
2
P1＝C23·()·，
3
525
333
三次全部击中目标的概率是P2＝C3·()，
5所以此人至少有两次击中目标的概率是
233
P＝P1＋P2＝C23·()·＋C3·()＝
3
5253581. 125
4．(2011·福州调研)已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E(ξ)＝6.3，则a的值为( )
ξ 4 0.5 a 0.1 B．6 D．8
9 P A.5 C．7 [答案] C
b [解析] 由0.5＋0.1＋b＝1知，b＝0.4，
由E(ξ)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3知，a＝7，故选C.
5．(2012·杭州质检)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是( )
7
A．(0，)
121
C．(0，)
2[答案] C
[解析] 由已知条件可得P(X＝1)＝p，
7
B．(，1)
121
D．(，1)
2
P(X＝2)＝(1－p)p，
P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，
则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)＝p－3p＋3>1.75， 51解得p>或p<，
22
1
又由p∈(0,1)，可得p∈(0，)，故应选C.
2
6．已知随机变量ξ，η满足ξ＝2η－1，且ξ～B(10，p)，若E(ξ)＝8，则D(η)＝( )
2
2
2
A．0.5 C．0.2 [答案] D
B．0.8 D．0.4
[解析] ∵E(ξ)＝10p＝8，∴p＝0.8，∴D(ξ)＝10p(1－p)＝10×0.8×0.2＝1.6，又
D(ξ)＝D(2η－1)＝4D(η)，∴D(η)＝0.4.
7．(2011·滨州模拟)有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若ξ表示取到次品的件数，则E(ξ)＝________.
3
[答案]
4
[解析] 分布列如下：
ξ 0 C123 C1631231 C4C123 C16213122 C4C123 C16213 C43 C163P C12C4C12C4C12C43∴E(ξ)＝0×3＋1×3＋2×3＋3×3＝.
C16C16C16C164
1
8．如果ξ～B(100，)，当P(ξ＝k)取得最大值时，k＝________.
2[答案] 50
?1?100－k k?1?k[解析] P(ξ＝k)＝C100??·??
?2??2?
k?1?100
＝C100??，由组合数的性质知，当k＝50时取到最大值．
?2?
9．(2011·龙岩月考)袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数ξ的数学期望E(ξ)＝________.
[答案] 1
C31C3·C11
[解析] P(ξ＝0)＝2＝，P(ξ＝2)＝2＝，
C42C4211
∴E(ξ)＝0×＋2×＝1.
22
10．(2012·聊城市模拟)某学校数学兴趣小组有10名学生，其中有4名女学生；英语兴趣小组有5名学生，其中有3名女学生，现采用分层抽样方法，从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动．
(1)求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数； (2)求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率；
(3)记ξ表示抽取的3名学生中男学生数，求ξ的分布列及数学期望．
2
1
1
3
[解析] (1)因为数学兴趣小组人数：英语兴趣小组人数＝10:5＝2:1，从数学兴趣小组和英语兴趣小组中抽取3人，则抽取数学小组的人数为2人，英语小组的人数为1人．
(2)从数学兴趣小组中抽取2人恰有一名女生的概率 C6·C48P＝2＝. C1015
(3)随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3. C432P(ξ＝0)＝2·＝；
C10525
C6·C43C4228
P(ξ＝1)＝2·＋2·＝；
C105C10575C63C6·C4231
P(ξ＝2)＝2·＋2·＝；
C105C10575C622
P(ξ＝3)＝2·＝，
C10515所以ξ的分布列为
ξ 0 2 252875
3175
1 28 7528155
2 31 753 2 1522
1
1
1
1
2
2
1
1
P 225
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
能力拓展提升
11.(2011·温州十校联考)已知随机变量X～N(3,2)，若X＝2η＋3，则D(η)等于( )
A．0 B．1 C．2 D．4 [答案] B
[解析] 由X＝2η＋3，得D(X)＝4D(η)，而D(X)＝2＝4，∴D(η)＝1.
12．(2011·广州模拟)一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，射击停止后尚余子弹的数目X的期望值为( )
A．2.44 C．2.376 [答案] C
[解析] X的取值为3、2、1、0，
B．3.376 D．2.4
22
P(X＝3)＝0.6；
P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24； P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096； P(X＝0)＝0.43×0.6＋0.44＝0.064.
4
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