全国高考数学复习微专题：求数列的通项公式

求数列的通项公式

一、基础知识——求通项公式的方法 1、累加（累乘法）

（1）累加法：如果递推公式形式为：an?1?an?f?n?，则可利用累加法求通项公式 ① 等号右边为关于n的表达式，且能够进行求和 ② an?1,an的系数相同，且为作差的形式

n例：数列?an?满足：a1?1，且an?1?an?2?1，求an

n解：an?1?an?2?1

an?an?1?2n?1?1

M

a2?a1?21?1

累加可得：an?a1?2?2?L?22n?1??n?1?

?2?2n?1?1?2?1?n?1?2n?n?3

?an?2n?n?2

（2）累乘法：如果递推公式形式为：

an?1?f?n?，则可利用累加法求通项公式 an例：已知数列?an?满足：a1?1，且nan?1??n?1?an，求an 解：nan?1??n?1?an?an?1n?1? ann?anan?1ann?12??L?2???L? an?1an?2a1n?1n?21an?n ?an?na1?n a1?2、构造辅助数列：通过对递推公式进行变形，变形为相邻项同构的特点，进而将相同的结构视为一个整体，即构造出辅助数列。通过求出辅助数列的通项公式，便可算出原数列的通

项公式

（1）形如an?pan?1?q?p?1,q?0?的形式：通常可构造出等比数列，进而求出通项公式。

例：数列?an?中，a1?1，an?3an?1?2，求数列?an?的通项公式

思路：观察到an与an?1有近似3倍的关系，所以考虑向等比数列方向构造，通过对an与an?1分别加上同一个常数?，使之具备等比关系，考虑利用待定系数法求出? 解：设an???3?an?1???即an?3an?1?2? 对比an?3an?1?2，可得??1

?an?1?3?an?1?1?

??an?1?是公比为3的等比数列

?an?1??a1?1??3n?1 ?an?2?3n?1?1

nnn（2）形如an?pan?1?q，此类问题可先处理q，两边同时除以q，得

anan?1?p?1，qnqn进而构造成

anpan?1anp???1b?b??bn?1?1，从而将问题转化为，设，从而变成nnnn?1nqqqqq第（1）个问题

n例：在数列?an?中，a1?1，an?3an?1?2?3

n解：an?3an?1?2?3

?anan?1??2 3n3n?1?an???n?是公差为2的等差数列 ?3??ana15??n?1?2?2n? ??n13335???an??2n???3n

3??小结：对于以上两个问题，还有一个通用的方法：对于形如an?pan?1?f?n?（其中f?n?n为关于n的表达式），可两边同时除以p，

ananan?1f?n?b?。设，即??nnnn?1nppppbn?bn?1?f?n?pn，进而只要

f?n?pn可进行求和，便可用累加的方法求出bn，进而求出bn。

以（1）中的例题为例：

anan?1?1?Qan?3an?1?2 ?n?n?1?2???

33?3?设bn?nan1，则 b?1n33n?1??bn?bn?1?2???

?3?bn?1?bn?2 M

?1??2????3?n?1

?1??b2?b1?2???

?3?n?11??1??1????2?23nn?13?3??1??1?????11??1???????bn?b1?2???????L?????2???1????

13333?????????????3???1?321?1?12?1??bn?????????

3?3?33?3?an2?1??n?????an?2?3n?1?1 33?3?（3）形如：qan?1?pan?anan?1，可以考虑两边同时除以anan?1，转化为

nnnqp??1的anan?1形式，进而可设bn?1，递推公式变为qbn?pbn?1?1，转变为上面的类型求解 an例：已知在数列?an?中，an?0,a1?2，且an?1?an?2an?1an 解：an?1?an?2an?1an?11???2 an?1an?111111???2 L ????2 ???2 ?an?1an?2a2a1anan?111???2?n?1? ana1?累加可得：

?1115?2?2n??2?2n???2n ana122?an?15?2n2?2

5?4n（4）形如pan?2??p?q?an?1?qan?k，即中间项的系数与两边项的系数和互为相反数，则可根据两边项的系数对中间项进行拆分，构造为：p?an?2?an?1??q?an?1?an??k的形式，将bn?an?1?an，进而可转化为上面所述类型进行求解

例：已知数列?an?中，a1?1,a2?3，且an?2?2an?1?an?4，求an 解：an?2?2an?1?an?4??an?2?an?1???an?1?an??4 设bn?an?1?an，则bn?1?bn?4，且b1?a2?a1?2

??bn?为公差是4的等差数列 ?bn?b1??n?1??4?4n?2

?an?1?an?4n?2

an?an?1?4?n?1??2

M

a2?a1?4?1?2

?an?a1?4??1?2?L??n?1????2?n?1?

?4?n?n?1?2?2?n?1??2n2?4n?2

?an?2n2?4n?3

4、题目中出现关于Sn,an的等式：一方面可通过特殊值法（令n?1）求出首项，另一方

面可考虑将等式转化为纯Sn或纯an的递推式，然后再求出an的通项公式。 例：已知数列?an?各项均为正数，Sn?an?an?1?2

,n?N?，求an

解：Sn?an?an?1?2,Sn?1?an?1?an?1?1?2an?an?1?2两式相减，可得：Sn?Sn?1??an?1?an?1?1?2?n?N,n?2?

?22an?an22?1?an?an?1?an??an?an?1?an?an?1

2?an?an?1??an?an?1??an?an?1?

Qan?0 ?an?an?1?1

??an?是公差为1的等差数列

在Sn?an?an?1?2中，令n?1，可得S1?a1?a1?1?2?a1?1

?an?a1??n?1?d?n

5、构造相减：当所给递推公式无法直接进行变形，则可考虑根据递推公式的形式再构造出下一组相邻项的递推公式，通过两式相减可构造出新的递推公式，再尝试解决。尤其是处理递推公式一侧有求和特征的问题，这种做法可构造出更为简单的递推公式。（详见例5，例8）以上面的一个例子为例：数列?an?中，a1?1，an?3an?1?2，求数列?an?的通项公式 解：Qan?3an?1?2 ① ?an?1?3an?2 ② ②?①可得：

an?1?an?3?an?an?1?

??an?1?an?是公比为3的等比数列 a2?3a1?2?5

?a2?a1?4

?an?1?an??a2?a1??3n?1?4?3n?1