高考题选编---直线，平面间的位置关系及简单的几何体
三．解答题
1．（2007年高考题全国19）四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD。已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=22，SA＝SB＝3。
(Ⅰ)证明：SA⊥BC；
(Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小；
解： （Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面
SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．因为SA?SB，所以
AO?BO，又∠ABC?45?，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，由三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，故SA⊥AD，由AD?BC?22，SA?3，1?1?AO?2，得SO?1，SD?11．△SAB的面积S1?AB?SA2??AB??2．连结DB，得
2?2?2△DAB的面积S2?1AB?ADsin135??2. 2131SO?S2，解得h?2． 3设D到平面SAB的距离为h，由于VD?SAB?VS?ABD，得h?S1?设SD与平面SAB所成角为?，则sin??h222??．所以，直线SD与平面SBC所成的SD1111我为arcsin22． 11，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．
?解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC因为SA?SB，所以AO?BO．又∠ABC?45，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．
z如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O?xyz， S ???0，?1)， A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，?2，0)，S(0，0，1)，SA?(2，GC ???????????CB?(0，22，0)，SA?CB?0，所以SA⊥BC．
（Ⅱ）取AB中点E，E?OA D EB yx?22??221?，，0G，连结，取中点，连结，． SESEGOG???22???4，4，?2?????221??22?OG??1?0)．SE?OG?0，AB?OG?0，OG与平??4，4，?，SE???2，2，?，AB?(?2，2，2????OG与DS的夹角记为?，面SAB内两条相交直线SE，AB垂直．所以OG?平面SAB，SD与平面SAB 1
所成的角记为?，则?与?互余．D(2，22，1)．cos??22，0)，DS?(?2，OG?DSOG?DS?22，11sin??2222，所以，直线SD与平面SAB所成的角为arcsin． 11112．（全国Ⅱ理19）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分
是AB、SC的中点。
(Ⅰ)求证：EF∥平面SAD； (Ⅱ)设SD = 2CD，求二面角A－EF－D的大小；
∥解：(Ⅰ)作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．连结AG，FG 1∥AB， CD，又CD 2∥AE，AEFG为平行四边形,EF∥AG，故FG 又AG?平面SAD，EF?平面SAD．所以EF∥平面
z SAD．
S (Ⅱ)不妨设DC?2，则SD?4，DG?2，△ADG为等腰直角三角形． 取AG中点H，连结DH，则DH⊥AG．又AB⊥平面SAD， 所以AB⊥DH，而AB?AG?A，所以DH⊥面AEF． F G 取EF中点M，连结MH，则HM⊥EF．连结DM，则DM⊥EF． 故?DMH为二面角A?EF?D的平面角
M C y D DH2tan?DMH???2．所以二面角A?EF?D的大小
A HM1E B 为arctan2．
解法二：(Ⅰ)如图，建立空间直角坐标系D?xyz．设Aa(，00，，)S(00，)，bx A ，B(a，a，，0)C(0，a，，0)
???????b?b?b??a??ab?????E?a，，0?，F?0，，?，EF???a，0，?．取SD的中点G?0，0，?，则AG???a，0，?．
2?2?2??2??22????????????EF?AG，EF∥AG，AG?平面SAD，EF?平面SAD，所以EF∥平面SAD．
，，，0)C(0，1，，0)S(0，0，，2)E?1，，0?，F?0，，1?．EF中点(Ⅱ)不妨设A(1，，00，)则B(11?111??????M?，，?，MD?222??1?1?，?，??22???????????????11??????，EF(?1，?，，01)M?DE，F?0⊥MDEF,又EA?0，?，0?，??22????1?2????1?2??????????????????EA?EF?0，EA⊥EF，所以向量MD和EA的夹角等于二面角A?EF?D的平面角．
??????????????????3MD?EA3．所以二面角A?EF?D的大小为arccos． cos?MD，EA????????????33MD?EAπ，斜边AB?4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以6直线AO为轴旋转得到，且二面角B?AO?C是直二面角．动点D的斜边AB上． （I）求证：平面COD?平面AOB；
3.（北京理16）如图，在Rt△AOB中，?OAB?
2
（II）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的大小； （III）求CD与平面AOB所成角的最大值． 解：（I）由题意，CO?AO，BO?AO，??BOC是二面角B?AO?C是直二面角， 又?二面角B?AO?C是直二面角，?CO?BO，又?AO?BO?O，?CO?平面AOB， 又CO?平面COD．?平面COD?平面AOB． （II）作DE?OB，垂足为E，连结CE（如图），则DE∥AO，??CDE是异面直线AO与CD所成的角．
在Rt△COE中，CO?BO?2，OE?1BO?1，?CE?CO2?OE2?5． 2又DE?CE5151??．?异面直线AO与CD所成角AO?3．?在Rt△CDE中，tanCDE?DE323的大小为arctan15． 3（III）由（I）知，CO?平面AOB，??CDO是CD与平面AOB所成的角，tanCDO?OC2 ?ODOD当OD最小时，?CDO最大，这时，OD?AB，垂足为D，OD?23OA?OB， ?3，tanCDO?3AB?CD与平面AOB所成角的最大值为arctan解法二：（I）同解法一．
23． 30，23)，C(2，1，3)， （II）建立空间直角坐标系O?xyz，如图，则O(0，0，0)，A(0，0，0)，D(0，????????????????????????66OA?CD??OA?(0，0，23)，CD?(?2，1，3)，．?cos?OACD，??????异面直线AO??????4OA?CD23?22与CD所成角的大小为arccos6． 4（III）同解法一
4.（福建理18）如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。
（Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD； （Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小； （Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离； 解：（Ⅰ）取BC中点O，连结AO． ?△ABC为正三角形，?AO⊥BC．
?正三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，?AO⊥平面
BCC1B1．连结B1O，在正方形BB1C1C中，O，D分别为BC，CC1的中点，
?B1O⊥BD，?AB1⊥BD．在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，?AB1⊥平面A1BD．
（Ⅱ）设AB1与A1B交于点G，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，连结AF，由（Ⅰ）得AB1⊥ 3
平面A1BD．?AF⊥A1D，?∠AFG为二面角A?A1D?B的平面角．
在△AA1D中，可求得AF?AG210451??，又?AG?AB1?2，?sin∠AFG?． AF454525所以二面角A?A1D?B的大小为arcsin10． 46，S△BCD?1．在正三棱柱中，A1到
?S△A1BD?（Ⅲ）△A1BD中，BD?A1D?5，A1B?22，平面BCC1B1的距离为3．
设点C到平面A1BD的距离为d．由VA1?BCD?VC?A1BD得
11S△BCD?3?S△A1BD?d， 33?d?3S△BCD22?．?点C到平面A1BD的距离为．
S△A1BD22解法二：（Ⅰ）取BC中点O，连结AO．?△ABC为正三角形，?AO⊥BC．?在正三棱 柱ABC?A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，?AD⊥平面BCC1B1．取B1C1中点O1，以O为原点，
?????????????OB，OO1，OA的方向为x，y0，0)，D(?11，，0)，，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1，????A1(0，2，3)，A(0，2，?3)， 2，0)，?AB1?(1，0，3)，B1(1，????????????????2，3)．?AB1?BD??2?2?0?0， BD?(?2，1，0)，BA1?(?1，????????????????????????AB1?BA1??1?4?3?0，?AB1⊥BD，AB1⊥BA1．
C O B x D z A F A1C1B1y ?AB1⊥平面A1BD．
????????????2，0)．?n⊥AD，，，?3)，AA1?(0，（Ⅱ）设平面A1AD的法向量为n?(x，y，z)．AD?(?11???????????x?y?3z?0，??y?0，?n?AD?0，?????n⊥AA1，??????0，1)为平面A1AD的,令z?1得n?(?3，??2y?0，?x??3z．??n?AA1?0，?????一个法向量．由（Ⅰ）知AB1⊥平面A1BD，?AB1为平面A1BD的法向量．
????????6n?AB1?3?36．?二面角A?A1D?B的大小为arccos． cos?n，AB1?????????442?22n?AB1????????????0，，0)AB1?(1，2，?3)．?点C到平面A1BD（Ⅲ）由（Ⅱ），AB1为平面A1BD法向量，?BC?(?2，????????BC?AB1?22的距离d?． ??????222AB1
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