AM?PA·AD?PDa·23a27AE3?a．在Rt△AEM中，sinAME??AM721a314． 414．所以二面角4A?PD?C的大小是arcsin解法二：由题设PA?底面ABCD，PA?平面PAD，则平面PAD?平面ACD，交线为AD． 过点C作CF?AD，垂足为F，故CF?平面PAD．过点F作FM?PD，垂足为M，连结CM，故CM?PD．因此?CMP是二面角A?PD?C的平面角．
P
由已知，可得?CAD?30°，设AC?a，
232113a，PD?a，CF?a，FD?a． 可得PA?a，AD?3326E A F M
D C
∵△FMD∽△PAD，∴FMFD． ?PAPDB
31a·aaFD·PA7CF62于是，FM???a．在Rt△CMF中，tanCMF???7． PD14FM217aa314所以二面角A?PD?C的大小是arctan7．
13.（浙江理19）在如图所示的几何体中，EA?平面ABC，DB?平面ABC，AC?BC，
AC?BC?BD?2AE，M是AB的中点。 D（Ⅰ）求证：CM?EM；
E（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角； 解：（I）因为AC?BC，M是AB的中点，所以CM?AB．又EA?平面ABC，所以CM?EM． CA（II）过点M作MH?平面CDE，垂足是H，连结CH交延长交ED于
M点F，连结MF，MD．∠FCM是直线CM和平面CDE所成的角．
B因为MH?平面CDE，所以MH?ED，又因为CM?平面EDM， 所以CM?ED，则ED?平面CMF，因此ED?MF．
设EA?a，BD?BC?AC?2a，在直角梯形ABDE中，AB?22a，M是AB的中点，所以
DE?3a，EM?3a，MD?6a，得△EMD是直角三角形，其中∠EMD?90?，所以
MF?EM?MDMF?2a．在Rt△CMF中，tan∠FCM??1，所以∠FCM?45?，故CM与平
DEMC?面CDE所成的角是45．
方法二：如图，以点C为坐标原点，以CA，CB分别为x轴和y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立直角坐标系C?xyz，设EA?a
，则A(2a，?，)?，B(0，2a，0)，E(2a，0，a)．D(0，2a，2a)，
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M(a，a，0)．
?????????????????????a)，CM?(a，a，0)，所以EM?（I）因为EM?(?a，a，CM?0，故EM?CM．
????????????????，y0，z0?与平面CDE垂直，则n?CE，n?CD，即n?（II）设向量n=?1CE?0，n?CD?0．因????????2a，2a)，所以y0?2，x0??2，即n?(1，为CE?(2a，0，a)，CD?(0，2，?2)，
???????????????CM?n2?，直线CM与平面CDE所成的角?是n与CM夹角的余角，所以??45，cosn，CM???????CM?n2因此直线CM与平面CDE所成的角是45?．
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