由于当x≠0时，f（x）+＞0，
）＞0，
①当x＞0时，（x?g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（ f′（x）+ 所以，在（0，+∞）上，函数x?g（x）单调递增函数． 又∵
[xf（x）+1]=1，
∴在（0，+∞）上，
函数 x?g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，
因此，在（0，+∞）上，函数 x?g（x）=xf（x）+1 没有零点．
②当x＜0时，由于（x?g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（ f′（x）+
）＜0，
故函数 x?g（x）在（﹣∞，0）上是递减函数，函数 x?g（x）=xf（x）+1＞1恒成立， 故函数 x?g（x）在（﹣∞，0）上无零点．
综上可得，函数g（x）=f（x）+在R上的零点个数为0， 故选：B
二、填空题：
13．已知x、y满足约束条件，则的最小值为 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义进行求解即可． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图， 则的几何意义是区域内的点到原点的斜率， 由图象知，OA的斜率最小，
由，得，即A（，），
的最小值为=，
故答案为：．
第9页（共17页）
14．椭圆
+
=1的焦点在y轴上，且m∈{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，3，4，5，6，
7}，则这样的椭圆的个数为 20 ． 【考点】椭圆的简单性质．
【分析】根据题意可知要使椭圆的焦点在y轴上，需满足n＞m，对n=1，2，3，4，5，6，7，看m能取的数的个数，最后向加即可求得答案． 【解答】解：要使椭圆的焦点在y轴上，需n＞m， 故n=2时，m可取1个数， n=3时，m可取2个数， n=4时，m可取3个数， n=5时，m可取4个数， n=6时，m可取5个数， n=7时，m可取5个数，
故椭圆的个数1+2+3+4+5+5=20 故答案为：20．
15．若函数f（x）在R上可导，f（x）=x3+x2f′（1），则
= ﹣4 ．
【考点】定积分．
【分析】先根据导数的运算法则求导，再求出f′（1）=﹣3，再根据定积分的计算法计算即可．
【解答】解：∵f（x）=x3+x2f′（1）， ∴f′（x）=3x2+2xf′（1）， ∴f′（1）=3+2f′（1）， ∴f′（1）=﹣3， ∴f（x）=x3﹣3x2， ∴
=（
）|
=4﹣8=﹣4，
故答案为：﹣4．
第10页（共17页）
16．若函数f（x）=﹣eax（a＞0，b＞0）的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；圆的切线方程．
【分析】求导数，求出切线方程，利用切线与圆x2+y2=1相切，可得a2+b2=1，利用基本不等式，可求a+b的最大值．
【解答】解：求导数，可得f′（x）=﹣令x=0，则f′（0）=﹣
又f（0）=﹣，则切线方程为y+=﹣∵切线与圆x2+y2=1相切， ∴
=1
，即ax+by+1=0
∴a2+b2=1 ∵a＞0，b＞0
∴2（a2+b2）≥（a+b）2 ∴a+b≤
∴a+b的最大值是． 故答案为：．
三、解答题：
17．在△ABC中，内角A，B，C的对边为a，b，c，已知2cos2+（cosB﹣
sinB）cosC=1．
（I）求角C的值．
（Ⅱ）若c=2，且△ABC的面积为，求a，b． 【考点】正弦定理；余弦定理． 【分析】（I）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得﹣sinBsinC=﹣sinBcosC，结合范围B∈（0，π），sinB≠0，解得tanC=，又C∈（0，π），即可求C的值．
（Ⅱ）由三角形面积公式可解得ab=4，又由余弦定理可解得a+b=4，联立可解得a，b的值．【解答】解：（I）∵2cos2+（cosB﹣
sinB）cosC=1，
∴1+cosA+（cosB﹣sinB）cosC=1，可得：﹣cosA=（cosB﹣sinB）cosC，
∴cos（B+C）=cosBcosC﹣sinBsinC=cosBcosC﹣sinBcosC，可得：﹣sinBsinC=﹣sinBcosC， ∵B∈（0，π），sinB≠0，
∴sinC=cosC，即：tanC=， ∵C∈（0，π）， ∴C=
．
，△ABC的面积为
=absinC=
ab，
（Ⅱ）∵c=2，C=
第11页（共17页）
∴解得：ab=4，①
又∵由余弦定理可得：4=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=（a+b）2﹣12，解得：a+b=4，②
∴①②联立可解得：a=b=2．
18．设a＞0，f（x）=
（1）写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的结论．
【考点】数学归纳法；数列递推式；归纳推理．
【分析】（1）根据所给函数及递推关系式，进行计算，从而可猜想数列{an}的通项公式； （2）利用数学归纳法的证明步骤，进行证明，注意利用归纳假设． 【解答】（1）解：∵a1=1，∴
，
猜想
…
．
（2）证明：①n=1时，猜想正确． … ②假设n=k时猜想正确，即
，…
则
这说明，n=k+1时猜想正确． … 由①②知，
…
19．Sn为其前n项和，已知数列{an}的各项均为正数，对于任意的n∈N*，满足关系式2Sn=3an﹣3．
（I）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设数列{bn}的通项公式是bn=
意的n∈N*总有Tn＜1．
【考点】数列的应用；数列的求和；数列递推式． 【分析】（I）由已知得此可求出an=3n（n∈N*）． （Ⅱ）
，所以Tn=b1+b2+…+bn=1﹣
．
=2an=3an﹣3an﹣1．，故2（Sn﹣Sn﹣1）由
，前n项和为Tn，求证：对于任
第12页（共17页）
相关推荐：
loading