高中数学《平面向量》知识点归纳
一、选择题
vvvvvv?1．已知平面向量a,b的夹角为，且|a|?2，|b|?1，则a?2b? ( )
3A．4 【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量的数量积和向量的模的运算，即可求解. 【详解】
B．2
C．1
D．
1 6rr2r2r2rrrr?由题意，可得|a?2b|?|a|?4|b|?4a?b?4?4?4|a|?|b|cos?4，
3rr所以|a?2b|?2，故选B.
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
rrruuurrrrruuurrruuu2．设a，b不共线，AB?a?3b，BC?a?2b，CD?3a?mb，若A，C，D三点共线，则实数m的值是（ ）
A．
2 3B．
1 5C．
7 2D．
15 2【答案】D 【解析】 【分析】
rrrruuurrr计算AC?2a?5b，得到2a?5b??3a?mb，解得答案.
??【详解】
rrruuuruuuruuurrruuurrruuu∵AB?a?3b，BC?a?2b，∴AC?AB?BC?2a?5b，
rrrruuuruuur2a?5b??3a?mb∵A，C，D三点共线，∴AC??CD，即，
??2?????2?3??3. ∴?，解得?155??m??m??2?故选：D. 【点睛】
本题考查了根据向量共线求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.
（ ） A．
3．已知a,b是平面向量，满足|a|?4，|b|?1且|3b?a|?2，则cos?a,b?的最小值是
rrrrrrrr11 16B．
7 8C．
15 8D．
315 16【答案】B 【解析】 【分析】
设OA?a，OB?3b，利用几何意义知B既在以O为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，又在以A为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，结合图象即可得到答案. 【详解】
uuurruuurruuurruuurr设OA?a，OB?3b，由题意，知B在以O为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，
rr由|3b?a|?2，知B在以A为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，如图所示
rrrr则B只能在阴影部分区域，要cos?a,b?最小，则?a,b?应最大，
rr此时cos?a,b???minOA2?OB2?AB242?32?227?cos?BOA???.
2OA?OB2?4?38
故选：B. 【点睛】
本题考查向量夹角的最值问题，本题采用数形结合的办法处理，更直观，是一道中档题.
uuuv1uuuvuuuvuuuvuuuvuuuv4．在边长为2的等边三角形ABC中，若AE?AC,BF?FC，则BE?AF?（ ）
3A．?2 3B．?4 3C．?
83D．?2
【答案】D 【解析】 【分析】
运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值． 【详解】
uuur1uuur在边长为2的等边三角形ABC中，若AE?AC，
3uuuruuuuuuruuurruuurv1uuu则BE?AF?（AE?AB）?（AC?AB）
2ruuurruuur1uuu1uuu＝（AC?AB）?（AC?AB）
32ruuuruuurr22uuu1?421?11uuu2
?（AC?AB?AB?AC）???4??2?2????2
2?332?233故选：D 【点睛】
本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．
5．在平面直角坐标系中，A?1,?2?，B?a,?1?，C??b,0?，a,b?R．当A,B,C三点共线时，AB?BC的最小值是（ ） A．0 【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量共线的坐标表示可求得b?1?2a，根据数量积的坐标运算可知所求数量积为
B．1
C．2
D．2
uuuruuur?a?1?2?1，由二次函数性质可得结果.
【详解】
uuuruuur由题意得：AB??a?1,1?，BC???b?a,1?，
uuurQA,B,C三点共线，?1??a?1??1???b?a?，即b?1?2a，?BC??a?1,1?， uuuruuuruuuruuur2?AB?BC??a?1??1?1，即AB?BC的最小值为1.
故选：B. 【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算形式，属于基础题.
6．如图，圆O是等边三角形ABC的外接圆，点D为劣弧AC的中点，则OD?（ ）
uuur
ur1uuur2uuA．BA?AC
33【答案】A 【解析】 【分析】
【详解】
ur1uuur2uuB．BA?AC
33ur2uuur1uuC．BA?AC
33ur2uuur4uuD．BA?AC
33连接BO，易知B，O，D三点共线，设OD与AC的交点为E，列出相应式子得出结论. 解：连接BO，易知B，O，D三点共线，设OD与AC的交点为E，
uuuruuur2uuur21uuuruuur1uuuruuuruuurur1uuur2uuBA?BA?AC?BA?AC. 则OD?BO?BE??BA?BC?332333故选：A.
????
【点睛】
本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题.
ruuur1uuuA．?AB?AD
2uuur1uuurAB?ADC．
2【答案】A 【解析】 【分析】
由平面向量的加法法则运算即可. 【详解】
7．已知四边形ABCD是平行四边形，点E为边CD的中点，则BE?
uuurruuur1uuuB．AB?AD
2uuur1uuurAB?ADD．
2
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