东华理工大学高等代数【818】考研真题试题2016年—2018年

注意：答案请做在答题纸上，做在试卷上无效东华理工大学2016年硕士生入学考试初试试题

科目代码：818;科目名称：《高等代数》；（A卷）数学适用专业（领域）名称：一、解答题：（共3小题，每小题10分，共30分）

3

?513

201

1?53

1?12

441.设D?

，求?A2j与?M2j，其中Mij,Aij分别为元素aij的余子

j?1j?1?4?1?3

式与代数余子式。

2.已知4元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，?1,?2,?3是它的3个解向量，其中?1??2??2202?，?2??3??1013?，试求非齐次线性方程组的通解。

TT3.设线性变换?的特征多项式与最小多项式分别为：

f(?)????1?(??2)2(??3),m(?)????1?(??2)(??3)

32（1）求?的所有不变因子；（2）写出?的若当标准形。二、证明题：（共4小题，每小题15分，共60分）

1.设F?{a?b2?c3?d6|a,b,c,d?Q}，证明F是数域。

2.设p(x),f(x)?Q[x]，且p(x)在Q上不可约，证明：如果p(x),f(x)在Q上有公共根，则p(x)|f(x)。

3.设A,B为n阶方阵，试证明：秩(AB)?秩(B)?ABX?0与BX?0同解。4.设矩阵A,B合同，A可逆，试证明：B可逆，且A?1与B?1合同。三、综合题：（共3小题，每小题20分，共60分）

?1??2??1??0?????????

1.求向量组?1??2?,?2??4?,?3??0?,?4??4?的秩、极大无关组，并将其余向

?2??4??3???2?????????

量表示成极大无关组的线性组合。

2.设?1??1101?，?2??1001?，?3??11?11?，?1??1201?，

?2??0110?，求L(?1,?2,?3)?L??1,?2?与L(?1,?2,?3)?L??1,?2?的维数和基。

第1页，共2页注意：答案请做在答题纸上，做在试卷上无效3.已知二次曲面x2?ay2?z2?2bxy?2xz?2yz?4可以经过正交变换化为椭圆曲面方程v2?4w2?4，求a,b的值和正交变换。

第2页，共2页注意：答案请做在答题纸上，做在试卷上无效东华理工大学2017年硕士生入学考试初试试题

科目代码：818一、（本题15分）

求满足下列性质的次数最低的多项式f(x)：

x2?1|f(x),x3?x2?1|f(x)?1.

;科目名称：《高等代数》；（A卷）070100数学适用专业（领域）名称：二、（本题15分）

设a为实数，证明：多项式

f(x)?xn?axn?1?...?an?1x?an最多有一个实根。三、（本题20分）

（1）设A??aij?n?n,B?(1)n?n，证明：|A?xB|?|A|?rx，?x，其中r???Aij，Aij

i?1j?1nn是代数余子式.

（2）利用（1）的结论计算下列行列式的值：

x?aDn?

?

ax?

aax?

.........

aaa?x

aaa?ax

?a?a

?a?a?a...

?a?a?a...?a

四、（本题15分）

??1200?

??1?200?，计算A2017.设A??

?003?1???00?62??

五、（本题15分）

设f(x)?Z[x]，Z表示整数集合，若有整数a，使得

f(a)?f(a?1)?f(a?2)?1

证明：对于任何整数c，f(c)??1.

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