正弦定理和余弦定理典型例题之欧阳与创编

欧阳与创编 2021.03.08

《正弦定理和余弦定理》典型例题透析

时间：2021.03.08 创作：欧阳与 类型一：正弦定理的应用：

例1．已知在?ABC中，c?10，A?45，C?30，解三角形.

思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a，然后用三角形内角和求出角B，最后用正弦定理求出边b.

解析：

ac， ?sinAsinCcsinA10?sin45??102， sinCsin30?(A?C)?105∴a?∴B?180又

，

bc， ?sinBsinC∴

b?csinB10?sin1056?2??20sin75?20??56?52． sinCsin304总结升华：

1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；

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2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.

举一反三：

【变式1】在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形。

【答案】根据三角形内角和定理，

C?1800?(A?B)?1800?(32.00?81.80)?66.20；

asinB42.9sin81.80根据正弦定理，b?sinA??80.1(cm)；

sin32.00asinC42.9sin66.20根据正弦定理，c?sinA??74.1(cm).

sin32.00【变式2】在?ABC中，已知B?750，C?600，c?5，求a、A.

【答案】A?1800?(B?C)?1800?(750?600)?450， 根据正弦定理

a5?sin45osin60o，∴a?56. 3【变式3】在?ABC中，已知sinA:sinB:sinC?1:2:3，求a:b:c

【答案】根据正弦定理

a:b:c?sinA:sinB:sinC?1:2:3.

abc??sinAsinBsinC，得

例2．在?ABC中，b?3,B?60,c?1，求：a和A，C．

思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如

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图），可以确定先用正弦定理求出角C，然后用三角形内角和求出角A，最后用正弦定理求出边a.

解析：由正弦定理得：∴sinC?bc， ?sinBsinCcsinB1?sin601??， b23（方法一）∵0?C?180， ∴C?30或C?150，

?180当C?150时，B?C?210，（舍去）；

当C?30时，A?90，∴a?b2?c2?2． （方法二）∵b?c，B?60， ∴C?B， ∴C?60即C为锐角，∴C?30，A?90 ∴a?b2?c2?2． 总结升华：

1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。

2. 在利用正弦定理求角C时，因为

sinC?sin(1800?C)，所以要依据题意准确确定角C的范

围，再求出角C.

3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.

举一反三：

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