等差数列前n项和的最值问题

等差数列前n项和的最值问题

问题引入：已知数列?an?,的前n项和Sn?n2?12n,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是,

12它的首项与公差分别是什么? 解:当n>1时:an?sn?sn?1???2n?综上:an?2n?12 当n=1时:a1?s1?12?12?1?32

,其中:a1?32,d?2

探究1:一般地,如果一个数列{an}的前n项和为:sn?pn2?qn?r,其中:p.q.r为常数,且p?0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r?0时不是

一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列?an?中， a1?0,S4?S9，则n的取值为多少时？Sn最大

分析：等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。 解析：由条件a1?0,S4?S9可知，d<0，且Sn?na1?n(n?1)2d?d2n?(a1?2d2)n，

?6.5其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为n?而n?N?，且6.5介于6与7的中点，从而n?6或n?7时Sn最大。 1. 已知等差数列{an}中a1=13且S3=S11,那么n取何值时,Sn取最大值.

4?92，

解析：设公差为d，由S3=S11得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, an=13-2(n-1),

an=15-2n,

由??an?0?an?1?0即??15?2n?0?15?2(n?1)?0得：6.5≤n≤7.5,所以n=7时,Sn取最大值.

2. 已知an是各项不为零的等差数列，其中a1＞0，公差d＜0，若S10=0，求数列an前 5 项和取得

最大值．

结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．an是各项不为零的等差数列，其中a1＞0，公差d＜0，S10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n=时，数列an前5项和取得最大值．

二、转化为求二次函数求最值

例2、在等差数列{an}中, a4＝－14, 公差d＝3, 求数列{an}的前n项和Sn的最小值 分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。 解析：∵a4＝a1＋3d, ∴ －14＝a1＋9, a1＝－23, ∴ Sn＝－23n＋

492=5

3n(n?1)2＝

32[(n－

496)2－

36],

∴ 当n=

496最小时，Sn最小，但由于n?N?，

496介于8与9之间， S8??100，S9??99

即有且S8?S9，故当n＝8 S8＝－100最小.

点评：通过条件求出a1，从而将Sn转化为关于n的二次函数，然后配方求解，但要注意的是此处

496介于8与9之间，但并不能取两个整数，判断的标准是对称轴是否处于两个整数中点，否则只有

一个取值。

3. 已知等差数列?an?中，前n项和Sn?n2?15n，则使Sn有最小值的n是（B ）

A、7 B、7或8 C、8 D、9

4. 已知an是等差数列，其中a1=31，公差d=﹣8，则数列an前n项和的最大值为 76 ．

分析：（1）根据数列的首项和公差写出数列的前n项和，它是关于n的二次函数，二次项的系数小于零，函数存在最大值，结合二次函数的最值得到结果，注意变量n的取值． 解答：解：（1）∵an是等差数列，其中a1=31，公差d=﹣8，∴数列an前n项和sn=﹣4n2+35n， 根据二次函数的性质，当n=时，前n项和sn取到最大值，∵n∈N，∴n=4，∴前n项和sn的最大值是sn=﹣64+140=76，

5. 已知一个等差数列的前10项的和是110，前20项的和是20.求此等差数列的前n项和Sn，并求出当

2n为何值时，Sn最大，最大值是多少？Sn=?n?21n 当N=10或11时，取最大值为110

6. 已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是

设{an}的公差为d，由题意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②由①②联立得a1=39，d=-2，∴sn=39n+ （-2）=-n2+40n=-（n-20）2+400，故当n=20时，Sn达到最大值400．

7. 已知等差数列an的公差d＜0，若a3a7=9，a1+a9=10，则该数列的前n项和Sn的最大值为 49 ． 分析：根据等差数列的性质得到第3项与第7项的和等于首项与第9项的和等于10，又第3项与第7项的积为9，写出一个两根为a3和a7关于x的一元二次方程，求出方程的解，且根据等差d小于0可得到a3和a7的值，进而求出数列的首项和公差，根据首项和公差写出等差数列的前n项和公式，配方后即可求出数列的前n项和Sn的最大值．解答：解：由题意a1+a9=10，得到a3+a7=10，又a3a7=9，得到a3，a7为方程x2﹣10x+9=0的两根，且d＜0，得到a3=9，a7=1，则d=﹣2，所以a1=13，Sn=﹣n2+14n﹣49+49=（n﹣7）2+49，则当n=7时，该数列的前n项和Sn的最大值为49．故答案为：49 8. 在等差数列an中，a1=25，S17=S9，求Sn的最大值． 解：由S17=S9，得到

=

，即17（2a1+16d）=9（2a1+8d），又a1=25，得：d=﹣=﹣2，所

×

以an=a1+（n﹣1）d=﹣2n+27， 则Sn=

三、在等差数列?an?中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解：

=

=﹣n2+26n=﹣（n﹣13）2+169，所以当n=13时，Snmax=169．

(1)当a1>0,d<0时，满足?数m使得取最小值。 ?am?0?am?1?0的项数m使得Sm取最大.(2)当a1<0,d>0时，满足??am?0?am?1?0的项例3：已知等差数列{an}的an＝24－3n，则前多少项和最大？

由an＝24－3n知当n?8时，an?0，当n?9时，an?0，?前8项或前7项的和取最大值. 9. 已知等差数列{bn}的通项bn＝2n-17,则前多少项和最小?

解：由bn＝2n－17n知当n?8时，an?0，当n?9时，an?0， ?前8项的和取最小值.

点评：通过数列中数的特性，可由??an?0?an?1?0，从解不等式来确定Sn的最大值。小结：对等差数列

前n项和的求法，通常从二次函数与不等式的角度来求解，但有一点要注意的是最值的取值不一定在对称轴处，必须认真考察n取何值才符合

10. 已知等差数列{an},满足an =40-4n ,求前多少项的和最大?最大值是多少? 解法一:由an?40?4n?Sn??2n?38n??2(n?2192)?21922

2?当n?9或n?10时，Sn最大，最大值：S10??2（10?192）?2192?180

?an?0?9?n?10?a??0?an?40?4n,?n?9或n?10,Sn最大，Sn最大值：S10?180解法二:令?n?1．

11. 在等差数列{an}中，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是 5或6 ． 分析：根据d＜0，|a3|=|a9|，判断出a3=﹣a9，进而根据等差数列的通项公式求得a1+5d=0，判断出a6=0进而可知从数列的第7项开始为负，进而可判断出前n项和Sn取得最大值的自然数n的值．

解答：解：∵d＜0，|a3|=|a9|，∴a3=﹣a9，∴a1+2d=﹣a1﹣8d，∴a1+5d=0，∴a6=0，∴an＞0（1≤n≤5）， 12. ∴Sn取得最大值时的自然数n是5或6．故答案为：5或6等差数列{an}的公差d＜0，且a12=a102，

则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n= 5 ．

分析：由a12=a102，得到a1和a10相等或互为相反数，因为公差d小于0，所以得到a1和a10互为相反数即两项相加等于0，又根据等差数列的性质可知a5和a6的和等于a1和a10的和等于0，得到数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数为5．解答：解：由d＜0，a12=a102，知a1+a10=0∴a5+a6=0，所以此数列从从第6项开始，以后每项都小于0，故Sn取得最大值时的项数n=5．故答案为：5． 点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，掌握两数平方相等时两数的关系，是一道中档题． 13. 已知等差数列{an}，3 a5 =8 a12， a1<0，设前n项和为Sn,求Sn取最小值时n的值．

[分析]求等差数列前n项的和最小,可以用函数的方式去求,亦可以用数列单调性,也可以由

Sn?A(n?B2A)?2B24A完成.

765d.由a1?0,?d?0,

解法一:?3a5?8a12,?3(a1?4d)?8(a1?11d),即a1???Sn?na1?n(n?1)2d?d2n?(a1?2

d2)n,点(n,Sn)是开口向上抛物线上一些孤立的点,即在函数

y?d2x?(a1?2d2)x的图象上,其对称轴x??a1?dd2??765d?dd2?15.7,距离

x=15.7最近的整数点

(16,S16), ?Sn最小时n?16. 解法二: ?3a5?8a12,?a1??765d.

由a1?0,?d?0,

a1?d2?0,?n?d2d2Sn?A(n?B2A)?2B24A,令n?B2A?765dd?15.7(n?N),

*?0,即n?2??n?16时，Sn最小.14. 已知等差数列{an}，3 a4 =7 a7， a1>0，设前n项和为Sn,求Sn取最大值时n的值．9 15. 已知等差数列{an},an?N*,Sn=（an?2)2.若bn?8112an?30，求数列 {bn}的前n项和的最小值.

分析：①由Sn与an的关系，可写出sn?1与an?1之间的关系，两式作差，即可得出an?1与an间的关系； ②{bn}的前n项和最小，估计{bn}的前n项均为负值，后面均为正值，所有负值之和为最小.

2222解 an?1=sn?1-Sn=（an?1?2)2-（an?2)2，即8an?1=（an?1+2）-（an+2），所以（an?1-2）-（an+2）=0，

1818即（an?1+an）（an?1-an-4）=0，因为an?N*，所以an?1+an?0，即an?1-an-4=0，所以an?1-an=4， 因此等差数列{an}的公差大于0.a1=s1=（a1?2)2,解得a1=2.所以an=4n-2,则bn?82n?31?0112an?30=2n-31.

即数列{bn2931?n?}也为等差数列且公差为2.由{2(n?1)?31?0，解得，因为n?N22*，所以n=15,故{bn}

的前15项为负值，因此s15最小，可知b1=-29，d=2,所以数列 {bn}的前n项和的最小值为

s15=

15（?29?2?15?31）2=-225.

?S7?S516.

?an?为等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，S6,则下列结论中不正确的是（A）

，②

，③

（A） d?0 （B）S11?0 （C）S12?0 （D）S13?017. 等差数列

的前项和为

，若

，则下列结论：①

，④

，其中正确结论是-------------- ( A ) A．②③ B．①③ C．①④ D．②④

18. 等差数列

的前项和

的最大值只有

，且

，则使

的的最大值为 。

19. 数列{an}是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负。 ⑴求数列的公差；

⑵求前n项和Sn的最大值；⑶当Sn>0时，求n的最大值。

?a1?5d?02323?d????解：⑴∵a1＝23，a6>0，a7<0，∴?∵d为整数，∴d＝－4。 56a?6d?0?1⑵Sn?23n?n(n?1)2?(?4)＝23n?2n(n?1)＝－2n?25n2 =－2(n?252254)?26252

∴当n?6时，Sn最大＝78。⑶Sn＝－2n2+25n>0得0?n?20. (92高考)设等差数列{an}的前n项和为

，∴n最大为12。

?0sn，已知a=12，s>0,s31213,

(1)求公差d的取值范围；（2）指出s1，s2，…，s12中哪一个值最大，并说明理由. 解析 （1）由a3=12，得：a1+2d=12,即a1=12-2d,由s12>0，得：12a1+由s13?0,得：13a1+

13*122d?0，所以

12*112247dd?0，所以d>-

247,

d<-3, 因此，d的取值范围为（-,-3）. ,由（1）知：?247(2)解法一：an?a1?(n?1)d=12-2d+(n-1)d =12+(n-3)d令an?0，得：n<3-所以，132?3?12d?712

，又n?N*,故由等差数列的单调性可知：当n?6时，an?0；当n>6时，an?0，

因此，s6最大.

解法二：由题意可得：Sn=na1+

n(n?1)2d=n(12-2d)+

n?n22d =

d2n?(12?5252d)n12d显然d?0, Sn是关于自

247?d??3变量n的二次函数，由（1）知：d<0,二次函数的图像抛物线的对称轴为n=?2?,由（1）知：，

所以6<

52?12d<

132,又因为n?N*,故当n=6时，Sn最大，即s6最大.简析：函数认识等差数列的和为项

数的二次函数，构建不等式解范围；等差数列求和整体思维研究单调性求解。⑴

S12?122?a1?a12??6?a1?a12??6?a3?2d?a3?9d??6?24?7d??0 S13?13?a1?a13??13a7?13?a3?4d??13?12?4d??0 解得，?2427?d??124；

⑵a7?0,a6?a3?3d?12?3d?0，等差数列｛an｝是首项为正数，公差小于0的递减数列，故S6最大. 21. 已知Sn?1?2?3???n,f(n)?Sn(n?32)Sn?1(n?N),则f(n)的最大值是 * 150