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（2）如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC．他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程．
（3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为a cm，对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围． 【问题解决】 （4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为
cm．
∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠D=90°，AD=CD， ∴∠DCE+∠CED=90°， ∴∠AEF=∠DCE， ∴△AEF∽△DCE， ∴
=，
设AE=x，则AD=CD=4x， ∴DE=AD﹣AE=3x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：（3x）2+（4x）2=42， 解得：x=， ∴AD=4×=故答案为：
． ．
【分析】（1）由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；
（2）由旋转的性质和位似的性质即可得出答案； （3）由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可； （4）证明△AEF∽△DCE，得出
=，设AE=x，
则AD=CD=4x，DE=AD﹣AE=3x，在Rt△CDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】（1）证明：由折叠的性质得：EF是BC的垂直平分线，BG是PC的垂直平分线， ∴PB=PC，PB=CB， ∴PB=PC=CB，
∴△PBC是等边三角形．
（2）解：以点B为中心，在矩形ABCD中把△PBC逆时针方向旋转适当的角度，得到△P1BC1；
再以点B为位似中心，将△P1BC1放大，使点C1的对应点C2落在CD上，得到△P2BC2； 如图⑤所示；
（3）解：本题答案不唯一，举例如图6所示，
25．（12分）如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；
（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；
（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．
（4）解：如图7所示：
△CEF是直角三角形，∠CEF=90°，CE=4，EF=1， ∴∠AEF+∠CED=90°，
【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由条件可求得点D到x轴的距离，即可求得D点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D点坐标； （3）由条件可证得BC⊥AC，设直线AC和BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，则可得BF=BC，利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标，利用待
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定系数法可求得直线BE解析式，联立直线BE和抛物线解析式可求得E点坐标，则可求得BE的长． 【解答】解：
（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0）， ∴F（2，6），且B（4，0）， 设直线BE解析式为y=kx+m，则可得得
，
，解
∴直线BE解析式为y=﹣3x+12，
联立直线BE和抛物线解析式可得
∴
，解得
，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；
（2）由题意可知C（0，2），A（﹣1，0），B（4，0）， ∴AB=5，OC=2，
∴S△ABC=AB?OC=×5×2=5， ∵S△ABC=S△ABD， ∴S△ABD=×5=，
设D（x，y）， ∴AB?|y|=×5|y|=
，解得|y|=3，
当y=3时，由﹣x2+x+2=3，解得x=1或x=2，此时D点坐标为（1，3）或（2，3）；
当y=﹣3时，由﹣x2+x+2=﹣3，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此时D点坐标为（5，﹣3）；
综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）；
（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5， ∴AC==，BC==2， ∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，
如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，
由题意可知∠FBC=45°
， ∴∠CFB=45°， ∴CF=BC=2， ∴=，即
=
，解得OM=2，
=
，
即
=
，解得FM=6，
7
，解得
或
，
E（5，﹣3），
BE==
．
∴∴
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