指数函数
【考点精讲】
1. 指数函数的定义
一般地，函数y＝a（a>0，且a≠1）叫做指数函数。 2. 指数函数的性质： xa?1 0?a?1 图 象 性质[来源学*科*网（1）定义域：R（2）值域：(0,??) [来源学。科。网Z。X。X。K][来源学§科§网] Z*X*X*K] （3）过点（0，1），即x?0时，y?1 （4）在R上是增函数 （4）在R上是减函数 [来源学科网ZXXK]
【典例精析】
ex＋ex
例题1 函数y＝x－x的图象大致为
e－e
－
（ ）
思路导航：e?ex?x?0?x?0，y?e?eex?e?xx?x1xe2x?1e2x?1?2e?2x?＝＝2x1e?1e?1ex?xeex?
1?2。
e2x?1函数y在（0，＋∞）上恒大于1且单调递减。又函数 y 是奇函数，故只有A正确。 答案：A
x?2例题2 （1）函数y＝a＋3（a>0，且a≠1）的图象过定点P，则点P的坐标是________。
（2）作出函数y?2的图象，指出它的单调区间及最值。
思路导航：（1）利用y＝a（a>0，且a≠1）的图象过定点（0，1）来确定。 当x＋2＝0，即x＝－2时，y＝a∴P（－2，4）。
即点P坐标为（－2，4）
?2?2xx?3＝1＋3＝4，
?2x(x?0)?x（2）y?2可转化为y＝2|x|??1。作图，利用图象写出单调区间及最值。
x?()(x?0)?2x??2,x?0,|x| y?2???x??2,x?0,其图象如下图所示
由图象知，增区间为[0，＋?），减区间为（－?，0]。
最小值为1，没有最大值。 答案：（1）（－2，4）；（2）增区间为[0，＋∞），减区间为（－∞，0）。最小值为1，没有最大值。
例题3 设a＞0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，求a的值。 思路导航：利用换元法，令t＝ax，利用二次函数和指数函数的单调性来研究函数的单调性，构建方程获解。
答案：令t＝ax（a＞0且a≠1），
则原函数化为y＝（t＋1）2－2（t＞0）。
1a，?， ①当0＜a＜1时，x∈[－1，1]，t＝ax∈??a?1
a，?上为增函数。 此时f（t）在??a?1??1?2
所以f（t）max＝f ??a?＝?a＋1?－2＝14。
1?211＋1＝16，所以a＝－或a＝。 所以??a?53
1
又因为a＞0，所以a＝。
3
1?
②当a＞1时，x∈[－1，1]，t＝ax∈??a，a?，
1?
此时f（t）在??a，a?上是增函数。
所以f（t）max＝f（a）＝（a＋1）2－2＝14，
1
解得a＝3（a＝－5舍去）。综上得a＝或3。
3
1
即，a＝或3。
3
点评：本题的考点是函数的最值问题，同时考查了用换元法将原函数转变为二次函数，及求出换元后变量取值范围的能力。本题是对底数进行分类后，根据指数函数的性质求出变量取值范围，再根据二次函数在区间上的单调性求有关最值问题。
【总结提升】
理解指数函数定义，需注意的几个问题：
（1）因为a>0，x是任意一个实数，故a是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R。
（2）规定底数a大于零且不等于1的理由：
11x如果a<0，比如y＝(?4)，这时对于x＝，x＝，…，在实数范围内函数值不存在。
42
如果a＝1，y＝1，x＝1，是一个常量，对它就没有研究的必要了。 为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1。
x
指数函数
1. 关于函数（1）y＝x2和（2）y＝2x的下列说法，正确的是（ ） A. （1）和（2）都是指数函数 B. （1）和（2）都不是指数函数 C. （1）是指数函数，（2）不是 D. （2）是指数函数，（1）不是
－
2. 已知对不同的a值，函数f（x）＝2＋a x1（a>0，且a≠1）的图象恒过定点P，则P点的坐标是（ ）
A. （0，3） B. （0，2） C. （1，3） D. （1，2） 3. 设y 1＝4 0.9，y2＝8 0.44，y3＝（
1－1.5
），则（ ） 2A. y3>y1>y2 B. y2>y1>y3 C. y1>y2>y3 D. y1>y3>y2
4. 当x>0时，函数f（x）＝（a2－1）x的值总大于1，则实数a的取值范围是（ ） A. 1<|a|<2 B. |a|<1 C. |a|>1 D. |a|>2
－5. 函数f（x）＝2|x|的值域是（ ） A. （0，1] B. （0，1） C. （0，＋∞） D. R -x?2?1?1,x?06. 函数f（x）＝?，满足f（x）＞1的x的取值范围是（ ） 2?x?0?x,A. （－1，1） B. （－1，＋∞） C. {x|x＞0或x＜－2} D. {x|x＞1或x＜－1} －－
7. 解不等式：（a2＋2a＋3）x2＜（a2＋2a＋3）32x。
指数函数
1. D 解析：由指数函数特征知（1）不是，（2）是。 2. C 解析：函数图象过定点，则函数解析式中含有待定系数（也叫参数）的“项”或“部
分表达式”一定为常数，本题要想使a x1为常数，又∵a取不同的值，因此x－1＝0，从而得解。
为使y为定值，应使x－1＝0，则此时y＝2＋a0＝3，故P点坐标为（1，3）。 因此，选C。
3. D 解析：把给出的三个函数化为同底的指数式，y1＝21.8，y2＝21.32，y3＝21.5，再根据指数函数y＝2 x是增函数即可判断y1>y3>y2。
4. D 解析：由指数函数的性质可知f（x）在（0，＋∞）上是递增函数，所以a 2－1>1，a 2>2，|a|>2。
5. A 解析：先求－|x|的范围，再根据指数函数y＝2x的单调性求解此函数的值域即可。 令t＝－|x|，则t≤0 因为y＝2x单调递增，所以0＜2t≤20＝1 即0＜y≤1 故选A。 6. D 解析：分x≤0和x＞0两种情况解不等式，解指数不等式时，要化为同底的指数不等式，再利用指数函数的单调性来解。 －－当x≤0时，f（x）＞1 即 2x－1＞1，2x＞2＝21，∴－x＞1，x＜－1， 当x＞0时，f（x）＞1 即 x＞1，x＞1， 综上，x＜－1或 x＞1， 故选D。 7. {x|x＜12－
5} 解析：根据指数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于03小于1时单调递减，先对底数进行范围的判断，再结合指数函数的单调性即可得到答案。 ∵a2＋2a＋3＝（a＋1）2＋2≥2＞1， y＝（a2＋2a＋3）x为增函数， ∴x－2＜3－2x，x＜5， 35}。 3故原不等式的解集是：{x|x＜
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