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x?v2y?452m g12bt运动,v0 、b 都21 -7 一质点沿半径为R 的圆周按规律s?v0t?是常量．(1) 求t 时刻质点的总加速度。
分析 在自然坐标中,s 表示圆周上从某一点开始的曲线坐标．由给定的运动方程s ＝s(t),对时间t 求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动的速度v 和加速度的切向分量aｔ,而加速度的法向分量为an＝v2 /R．这样,总加速度为
a ＝aｔeｔ＋anen．至于质点在t 时间通过的路程,即为曲线坐标的改变量Δs＝st -s0．因圆周长为2πR,质点所转过的圈数自然可求得．
解 (1) 质点作圆周运动的速率为
v?ds?v0?bt dt其加速度的切向分量和法向分量分别为
d2sv2(v0?bt)2at?2??b, an??
dtRR故加速度的大小为
at2b2?(v0?bt)4 a?a?a?R2n2t其方向与切线之间的夹角为
?(v0?bt)2?anθ?arctan?arctan?? ?atRb??1 -8 一升降机以加速度1.22 m·ｓ上升,当上升速度为2.44 m·ｓ
-2
-1
时,有一螺丝自升降机的天花板上松脱,天花板与升降机的底面相距2.74 m．计算：(1)螺丝从天花板落到底面所需要的时间；(2)螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离．
分析 在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下,一种处理方法是取地面为参考系,分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动,列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程y1 ＝y1(t)和
y2 ＝y2(t),并考虑它们相遇,即位矢相同这一条件,问题即可解；另一种方法
是取升降机(或螺丝)为参考系,这时,螺丝(或升降机)相对它作匀加速运动,
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但是,此加速度应该是相对加速度．升降机厢的高度就是螺丝(或升降机)运动的路程．
解1 (1) 以地面为参考系,取如图所示的坐标系,升降机与螺丝的运动方程分别为
1y1?v0t?at2
21y2?h?v0t?gt2
2当螺丝落至底面时,有y1 ＝y2 ,即
11v0t?at2?h?v0t?gt2
22t?2h?0.705s g?a (2) 螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为
1d?h?y2??v0t?gt2?0.716m
2解2 (1)以升降机为参考系,此时,螺丝相对它的加速度大小a′＝g ＋
a,螺丝落至底面时,有
10?h?(g?a)t2
2t?2h?0.705s g?a(2) 由于升降机在t 时间上升的高度为
1h??v0t?at2
2则 d?h?h??0.716m
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1 -9 一无风的下雨天,一列火车以v1＝20.0 m·ｓ 的速度匀速前进,在车的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成75°角下降．求雨滴下落的速度
-1
v2 ．(设下降的雨滴作匀速运动)
分析 这是一个相对运动的问题．设雨滴为研究对象,地面为静止参考系Ｓ,火车为动参考系Ｓ′．v1 为Ｓ′相对Ｓ 的速度,v2 为雨滴相对Ｓ的速度,利用相对运动速度的关系即可解．解 以地面为参考系,火车相对地面运动的速度为v1 ,雨滴相对地面竖直下落的速度为v2 ,旅客看到雨滴下落的速度v2′为相对速度,它们之间的关系为v2?v2?v1 (如图所示),于是可得
'v2?v1?5.36m?s?1 otan751 -10 如图(a)所示,一汽车在雨中沿直线行驶,其速率为v1 ,下落雨滴的速度方向偏于竖直方向之前θ 角,速率为v2′,若车后有一长方形物体,问车速v1为多大时,此物体正好不会被雨水淋湿？
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分析 这也是一个相对运动的问题．可视雨点为研究对象,地面为静参考系Ｓ,汽车为动参考系Ｓ′．如图(a)所示,要使物体不被淋湿,在车上观察雨点下落的方向(即雨点相对于汽车的运动速度v2′的方向)应满足
lα?arctan．再由相对速度的矢量关系v?2?v2?v1,即可求出所需车速
hv1．
解 由v?2?v2?v1［图(b)］,有
α?arctan而要使α?arctan,则
v1?v2sinθ
v2cosθlhv1?v2sinθl?
v2cosθh?lcosθ?v1?v2??sinθ?
?h?1 -11 用水平力FN把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止．当
FN逐渐增大时,物体所受的静摩擦力Ff的大小( )
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