历年来北大自主招生数学试题 - 图文

（ⅰ）若C与C1，C2都外切，则CC1?r1?r，CC2?r2?r，所以CC1?CC2?r1?r2； 若C与C1，C2都内切，则CC1?r?r1，CC2?r?r2（或CC1?r1?r，CC2?r2?r），所以CC2?CC1?r1?r2； 所以CC2?CC1?r1?r2?C1C2，由双曲线的定义，C的圆心的轨迹是以C1，C2为焦点、实轴长为r1?r2的双曲线（圆C1、C2的交点除外）；

（ⅱ）若C与C1内切，C2外切，则CC1?r1?r，CC2?r2?r，所以CC2?CC1?r1?r2； 若C与C1外切，C2内切，则CC1?r?r1，CC2?r2?r，所以CC2?CC1?r1?r2； C所以CC2?CC1?r1?r2?C1C2，由椭圆的定义，C的圆心的轨迹是以C1，2为焦点、

实轴长为r1?r2的椭圆（圆C1、C2的交点除外）；

（4）当C1和C2内切时，即C1C2?r1?r2， （ⅰ）若C与C1，C2都外切，则CC1?r1?r，CC2?r2?r，所以CC1?CC2?r1?r2； 若C与C1，C2都内切，则CC1?r?r1，CC2?r?r2（或CC1?r1?r，CC2?r?r2或CC1?r1?r，CC2?r2?r），所以CC2?CC1?r1?r2(或CC2?CC1?r1?r2或CC2?CC1?r2?r1)； 所以CC2?CC1?r1?r2?C1C2或CC2?CC1?r所以C的圆心的轨迹是过C1，1?r2，

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C2的直线（除直线与圆C1、C2的交点外）；

（ⅱ）若C与C1内切，C2外切，则CC1?r1?r，CC2?r2?r，所以

CCC1C?2?1r?2r?1，所以2CCC的圆心的轨迹是以C1，C2为焦点、实轴长为r1?r2的椭圆（两圆C1、C2的交点除外）；

（5）当C1和C2内含时，即C1C2?r1?r2， （ⅰ）若C与C1，C2都内切，则CC1?r1?r，CC2?r?r2，所以

CC2?C1C?1?r2r?，所以12CCC的圆心的轨迹是以C1，C2为焦点、实轴长为r1?r2的椭圆；

（ⅱ）若C与C1内切，C2外切，则CC1?r1?r，CC2?r2?r，所以

CC2?CC1?r1?r2?C1C2，所以C的圆心的轨迹是以C1，C2为焦点、实轴长为r1?r2的椭圆。

7.求f(x)?x?1?2x?1?........?2011x?1的最小值。

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