历年来北大自主招生数学试题 - 图文

?4xy?15(x?y)?50??4x2?30x?50??38x?70??38x?70??108?386；

当x?y??2时，x??2(x?2)?5，x(x?2)?1

2?4xy?15(x?y)?50?4x(x?2)?80??16．

故选D．

??4x(?2?x)?20Ａ

4．如图， 在△ABC中，D为BC中点，DM平分∠ADB交AB于点M，DN平分∠ADC交AC于N，则BM+CN与MN的关系为

( ) A.BM+CN＞MNB.MN+CN

【解析】 延长ND至E，使ND＝ED，连结BE、ME， 则△BED≌△CND，△MED≌△MND，ME＝MN， 由BM＋BE＞EM，得BM＋CN＞MN．

E Ｂ

Ｂ Ｍ Ｎ Ｃ

Ｄ Ａ

Ｍ Ｎ Ｃ

Ｄ 5．设数列?an?满足a1?1，前n项和为Sn，Sn?1?4an?2，求a2013．

【解析】 ∵a1?1，a1?a2?4a1?2，∴a2?5；

由 Sn?1?4an?2，有n?2时，Sn?4an?1?2，于是an?1?4an?4an?1，

n2特征方程x?4x?4有重根2，可设an?(c1?c2)?2，

将a1?1，a2?5代入上式，得c1??于是an?(故选A

13，c2?， 443n1?)?2n?(3n?1)?2n?2，∴a2013?6038?22011?3019?22012． 44 21

6．模长为１的复数x,y,z满足x?y?z?0，求

xy?yz?zx．

x?y?zA．-1/2 B．1 C．2 D．无法确定 【解析】 取x?y?z?1，便能得到

xy?yz?zx＝1．

x?y?z下面给出证明，xx?yy?zz?1，

xy?yz?zxxy?yz?zx?xy?yz?zx?xy?yz?zxxy?yz?zx??于是 ????x?y?zx?y?z?x?y?z?x?y?zx?y?z?2?

1?1?1?xz?yz?yx?zx?zx?yxxy?yz?zx＝1． ?1． ∴

x?y?z1?1?1?xz?yz?yx?zx?zx?yx二、解答题(每题18分,共72分)

7．最多有多少个两两不等的正整数，满足其中任意三数之和都为素数．

【解析】 设满足条件的正整数为n个．考虑模3的同余类，共三类，记为0，1，2． 则这n个正整数需同时满足①不能三类都有；②同一类中不能有3个和超过3个．否则都会出现三数之和为3的倍数．故n?4．

当n?4时，取1，3，7，9，其任意三数之和为11，13，17，19均为素数，满足题意， 所以满足要求的正整数最多有4个．

8．已知ai，i?1,2,3,?,2013为2013个实数，满足a1?a2?a3???a2013?0，且

a1?2a2?a2?2a3?…?a2013?2a1，求证a1?a2?a3???a2013?0．

【解析】 设a1?2a2?a2?2a3?…?a2013?2a1?k，

若k?0，则a1?2a2，a2?2a3，…，a2012?2a2013，a2013?2a1， 于是a1?a2?a3???a2013?a1?a1a1a1?2???2011?2a1?0， 222∴a1?0，进而a1?a2?a3???a2013?0．

若k?0，则a1?2a2，a2?2a3，…，a2013?2a1 这2013个数去掉绝对值号后

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只能取k和?k两值，

又a1?2a2?a2?2a3?…?a2012?2a2013?a2013?2a1?0， 即这2013个数去掉绝对值号后取k和?k两值的个数相同，这不可能．

9．对于任意的?，求32cos??cos6??6cos4??15cos2?的值． 【解析】 32cos66??32(31?cos2?3)?4cos32??12cos22??12cos2??4， 26???4cos2??3cos2?， ?cos ?6cos4???12cos2??6， ?15cos2???15cos2?， 各式相加，得32cos

10．已知有mn个实数，排列成m?n阶数阵，记作aij62??cos6??6cos4??15cos2??10．

??m?n使得数阵的每一行从左到右都

是递增的，即对任意的i?1,2,3,?,m，当j1?j2时，有aij1?aij2；现将aij??m?n的每一列

，即

'原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m?n阶数阵，记作aij??m?n对任意的j?1,2,3,?,n，当i1?i2时，有a大小关系，并加以证明．

'【解析】 数阵aij'i1j?a'i2j，试判断?a'ij?m?n中每一行的各数的

??m?n中的中每一行的各数仍是递增的．下面用反证法给出证明．

pq 若在第p行存在a'?a'p(q?1)，令a'k(q?1)?aik(q?1)，其中k?1,2,3,?,m，

t?i1,i2,i3,?,im???1,2,3,?,m?，则当t?p时，aiq 即在第q列中至少有p个数小于a在第p?1行，这与a的．

'pq排在第

'pq，也就是

?ait(q?1)?a't(q?1)?a'p(q?1)?a'pq

a'pq在数阵?a'ij?m?n中的第q列中至少排

p行矛盾．所以数阵?a'ij?m?n中的中每一行的各数仍是递增

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2014北约理科数学试题

?的扇形面积为6?,求它围成圆锥的表面积. 32、将10个人分成3组，一组4人，两组各3人，求共有几种分法.

1、圆心角为

?a?2b?f?a??2f?b?,f?1??1,f?4??7,求f?2014?. 3、f???3?3?4、f?x??lgx2?2ax?a的值域为R,求a的取值范围. 5、已知x?y??1,且x,y都为负实数，求xy?6、f?x??arctan1的取值范围. xy??2?2x?11??C在??,?上为奇函数，求C的值. 1?4x?44?7、求证：tan3??Q.

8、已知实系数二次函数f?x?与g?x?,f?x??g?x?和3f?x??g?x??0有两重根，f?x?有两相异实根，求证：g?x?没有实根.

7169、a1a2......a13是等差数列，M?ai?aj?ak|1?i?j?k?13,问：0,,是否可以同时在M23中，并证明你的结论.

??10、xi?0?i?1,2,...n?,?xi?1.求证：?i?1i?1nn?2?xi???2?1.

?n

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