?f(?)?0 f(x)?0在x?[?,?]上恒成立???f(?)?0（2）当a?0时，f(x)?0在x?[?,?]上恒成立???f(?)?0
?f(?)?0b?b??b?????????????? f(x)?0在x?[?,?]上恒成立??2a或?或2a?2a???f(?)?0????0?f(?)?0类型3：
f(x)??对一切x?I恒成立?f(x)min??f(x)??对一切x?I恒成立?f(x)max??。
类型4：
f(x)?g(x)对一切x?I恒成立?f(x)的图象在g(x)的图象的上方或f(x)min?g(x)max(x?I) 恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正
确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。 一、用一次函数的性质
对于一次函数f(x)?kx?b,x?[m,n]有：
?f(m)?0?f(m)?0 f(x)?0恒成立??,f(x)?0恒成立??f(n)?0f(n)?0??例1：若不等式2x?1?m(x?1)对满足?2?m?2的所有m都成立，求x的范围。 解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：
2；令f(m)?m(x?1)?(2x?1)，则?2?m?2时，m(x2?1)?(2x?1)?0，
2?f(?2)?0???2(x?1)?(2x?1)?0f(m)?0恒成立，所以只需?即?，所以x的范2??f(2)?0?2(x?1)?(2x?1)?02围是x?(?1?71?3,)。 222二、利用一元二次函数的判别式
对于一元二次函数f(x)?ax?bx?c?0(a?0,x?R)有： （1）f(x)?0在x?R上恒成立?a?0且??0；
（2）f(x)?0在x?R上恒成立?a?0且??0
例2：若不等式(m?1)x2?(m?1)x?2?0的解集是R，求m的范围。
解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。
（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意； （2）m?1?0时，只需??m?1?0???(m?1)?8(m?1)?02，所以，m?[1,9)。
三、利用函数的最值（或值域）
（1）f(x)?m对任意x都成立?f(x)min?m；
（2）f(x)?m对任意x都成立?m?f(x)max。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。 例3：在?ABC中，已知f(B)?4sinBsin(成立，求实数m的范围。 解析：由
2?4?B)?cos2B,且|f(B)?m|?2恒2f(B)?4sinBsin2(?4?B)?cos2B?2sinB?1,?0?B??,?sinB?(0,1]，2?m?f(B)?2f(B)?(1,3]，?|f(B)?m|?2恒成立，??2?f(B)?m?2，即??m?f(B)?2恒成立，?m?(1,3]
例4：（1）求使不等式a?sinx?cosx,x?[0,?]恒成立的实数a的范围。 解析：由于函a?sinx?cosx?最大值2，?a?2sin(x???3?),x???[?,]，显然函数有
44442。
如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题： （2）求使不等式a?sinx?cosx,x???(0,)恒成立的实数a的范围。
42?解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得y?sinx?cosx的最大值取不到
2，即a取2也满足条件，所以
a?2。
所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。
四：数形结合法
对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。
2x例5：已知a?0,a?1,f(x)?x?a,当x?(?1,1)时,有f(x)?1恒成立，求实
2数a的取值范围。
2x2x解析：由f(x)?x?a?1，得x?1?a，在同一直角坐标系中做出两个函
22数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由
12?111xx?a及(?1)2??a?1得到a分别等于2和0.5，并作出函数y?2及y?()2222的图象，所以，要想使函数x?1?ax在区间x?(?1,1)中恒成立，只须y?2x在22区间x?(?1,1)对应的图象在y?x?1在区间x?(?1,1)对应图象的上面即可。当2a?1时,只有a?2才能保证，而0?a?1时，只有a?1a?[,1)?(1,2]。
21才可以，所以2 由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。
例6：若当P(m,n)为圆x?(y?1)?1上任意一点时，不等式m?n?c?0恒成立，则c的取值范围是（ ） A、?1?2?c?222?1 B、2?1?c?2?1
2?1
C、c??2?1 D、c?解析：由m?n?c?0，可以看作是点P(m,n)在直线x?y?c?0的右侧，而点P(m,n)在圆x?(y?1)?1上，实质相当于是x?(y?1)?1在直线的右侧并与它相离
2222?0?1?c?0?或相切。??|0?1?c|?c?2?1，故选D。
?1?22?1?1 其实在习题中，我们也给出了一种解恒成立问题的方法，即求出不等式的解集后再进行处理。
以上介绍了常用的五种解决恒成立问题。其实，对于恒成立问题，有时关键是能否看得出来题就是关于恒成立问题。下面，给出一些练习题，供同学们练习。 练习题：1、对任意实数x，不等式asinx?bcosx?c?0(a,b,c?R)恒成立的充要条件是_______。[c?
a2?b2]
52x?3x?9xa在(??,1]上有意义，求实数a的取值范围.[,??)。 2、设y?lglg97
|Logax|?1恒成立，则实数a的范围是____。[(0,]?[3,??)] 3、当x?(,3)时，
4、已知不等式：
131311112??......??Loga(a?1)? 对一切大于1的n?1n?2n?n123自然数n恒成立，求实数a的范围。[a?(1,
1?5)] 2
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