?x2?4x?5对于?x?[?1,5]恒成立,令?x?[?1,5],kx?3k??x?4x?5恒成立?k?x?316?x2?4x?5y?,x?[?1,5],设x?3?t,t?[2,8],则y??(t?)?10,t?[2,8],?当t?4,即x=1
tx?32时ymax?2, ?k的取值范围是k>2.
变式 若本题中将y?kx?3k改为y?k(x?3)2，其余条件不变，则也可以用变量分离法解.
由题意得，对于?x?[?1,5],k(x?3)??x?4x?5恒成立?k??x2?4x?5(x?3)222?x2?4x?5(x?3)2对于
?x?[?1,5]恒成立,令y?,x?[?1,5],设x?3?t,t?[2,8],则
y??16104529??1??(?)?,t?[2,8]， 2tt416t45199?当?,即x?时,ymax?, ?k的取值范围是k>.
t451616 点评 本题通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，本题构造的函数求最值对学生来说有些难度，但通过换元后巧妙地转化为“对勾函数”，从而求得最值. 变式题中构造的函数通过换元后转化为“二次函数型”，从而求得最值.本题也可以用零点分布策略和函数最值策略求解.
5 数形结合策略
例5 设函数f(x)??a??x2?4x,g(x)?ax?a,若恒有f(x)?g(x)成立,试求实数a的取值范围.
解
析
由
题
意
得
f(x)?g(x)??x2?4x?ax?2a,令
,y2?ax?2a②. y1??x2?4x①
2?4(0?x?4,y1?0)，它表示以(2,0)为圆心，2 为半径的上半圆；①可化为(x?2)2?y1②表示经过定点(-2,0)，以a为斜率的直线，要使f(x)?g(x)恒成立，只需①所表示的半圆在②所表示的直线下方就可以了(如图所示)．当直线与半圆相切时就有
|2a?2a|1?a2?2，
y 3，由图可知，要使f(x)?g(x)恒成立，实数a33的取值范围是a?．
3即a??O x 点评 本题通过对已知不等式变形处理后，挖掘不等式两边式子的几何意义，通过构造函数，运用数形结合的
思想来求参数的取值范围，不仅能使问题变得直观，同时也起到了化繁为简的效果.
6 消元转化策略 例
6 已知
f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(m)?f(n)?0，若
m?nf(1)=1,若
m,n?[?1,1],m?n?0时f(x)?t2?2at?1对于所有的
x?[?1,1],a?[?1,1]恒成立，求实数t的取值范围.
解析 本题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,故 f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=1,则f(x)?t2?2at?1对于所有的x?[?1,1],a?[?1,1]恒成立?1?t2?2at?1对于所有的
a?[?1,1]恒成立，即2ta?t2?0对于所有的a?[?1,1]恒成立，令g(a)?2ta?t2，只要
?g(?1)?0，?t??2或t?2或t?0． ?g(1)?0? 点评 对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题,可以根据题意依次进行消元转化,从而转化为只含有两变量的不等式问题,使问题得到解决.
以上介绍的几种常见不等式恒成立问题的求解策略，只是分别从某个侧面入手去探讨不等式中参数的取值范围。事实上，这些策略不是孤立的，在具体的解题实践中，往往需要综合考虑，灵活运用，才能使问题得以顺利解决。
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