P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）=P（X=4）=∴E（X）=
．
+
+
+=
；
=； =
；
=．
19． 解：（I）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC?平面ABC， ∴AC⊥AA1， 又∵∠BAC=90°，即AC⊥AB，且AA1∩AB=A，∴AC⊥平面AA1B1B， ∵A1B?平面AA1B1B，∴AC⊥A1B； （II）∵四边形BB1C1C为平行四边形，得B1C1∥BC， ∴∠A1BC1（或其补角）是异面直线A1B与B1C1所成的角． ∵AC⊥A1B，A1C1∥AC，∴A1C1⊥A1B． 由此可得Rt△A1BC1中，∠A1BC1=60°， ∵A1C1=AC=1，∴A1B=
Rt△A1B1B中，A1B1=AB=1，可得BB1=
∵A1C1∥AC，AC⊥平面AA1B1B，∴A1C1⊥平面AA1B1B， ∵A1C1?平面A1BC1，∴平面A1BC1⊥平面AA1B1B， 过B1点作B1E⊥AB于点E，则B1E⊥平面A1BC1， Rt△A1B1B中，B1E=
=
，即点B1到平面A1BC1的距离等于
．
=
，
∵D是BB1的中点，∴点D到平面A1BC1的距离d=×Rt△A1B1C1中，B1C1=∴Rt△DB1C1中，C1D=
==
， =
=，
设DC1与平面A1BC1所成角为α，则sinα=
，
即直线DC1与平面A1BC1所成角的正弦值等于
．
20．
解：（1）∵椭圆离心率为
，∴=
，∴
．…（1分）
∵椭圆过点（∴
∴椭圆方程为
），代入椭圆方程，得．…（4分）
，即x+3y=5．…（5分）
2
2
．…（2分）
（2）在x轴上存在点M（，0），使证明：假设在x轴上存在点M（m，0），使
是与k无关的常数．…（6分）
是与k无关的常数，
∵直线L过点C（﹣1，0）且斜率为k，∴L方程为y=k（x+1），
222222
代入方程E：x+3y=5，得（3k+1）x+6kx+3k﹣5=0； 设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），则x1+x2=﹣分）
∵=（x1﹣m，y1），∴
2
，x1x2=
…（8
=（x2﹣m，y2），
2
=（k+1）x1x2+（k﹣m）（x1+x2）
2
2
+k+m+=…（10分）
设常数为t，则
2
2
2
．…（11分）
整理得（3m+6m﹣1﹣3t）k+m﹣t=0对任意的k恒成立， ∴
，解得m=，…（13分）
是与k无关的常数．…（14分）
即在x轴上存在点M（，0），使
21．
解：（1）由题设∴
，
﹣﹣﹣（2分）
∴1+a=1，∴a=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分） （2）设
，?x∈（1，+∞），f（x）≤m（x﹣1），即
，即?x∈（1，+∞），g（x）≤0．
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
①若m≤0，g'（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，这与题设g（x）≤0矛盾．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
22
②若m＞0方程﹣mx+x﹣m=0的判别式△=1﹣4m 当△≤0，即
时，g'（x）≤0．
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减， ∴g（x）≤g（1）=0，即不等式成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分） 当
时，方程﹣mx+x﹣m=0，其根
2
，
，
当x∈（1，x2），g'（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）＞g（1）=0，与题设矛盾． 综上所述，
．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
时，
成立．
（3）由（2）知，当x＞1时，不妨令
所以，
﹣﹣﹣（12分） 累加可得即 四、选做题：考生在22、23、24题中任选一题作答即可 22． 证明：（I）∵AC为圆O的直径，∴∠ABC=90°，∴AB⊥BC． ∵D为的中点，E为BC的中点，∴DE⊥BC． ∴AB∥DE． （II）如图所示，作出矩形ADCF． 则矩形的面积S=AD?DC． 而S=EC?DF=∴=AD?DC． ， ∴2AD?DC=AC?BC． 23． 解：（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）+y=1． 22把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程． （II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+可得普通方程：直线l，射线OM． ）=3，射线OM：θ=． 联立，解得，即Q．
联立，解得或． ∴P∴|PQ|=． =2． 24． 解：（1）由f（x）≤3得|x﹣a|≤3， 解得a﹣3≤x≤a+3． 又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}， 所以解得a=2．（6分） （2）当a=2时，f（x）=|x﹣2|． 设g（x）=f（x）+f（x+5）， 于是 所以当x＜﹣3时，g（x）＞5； 当﹣3≤x≤2时，g（x）=5； 当x＞2时，g（x）＞5． 综上可得，g（x）的最小值为5． 从而，若f（x）+f（x+5）≥m 即g（x）≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为（﹣∞，5]．（12分）
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