基于MATLAB的四层框架结构动力响应与研究

暨南大学 研究生课程论文

课程：结构动力学 姓名：许可悦 学号：1634361002 学院：力学与建筑工程学院 专业：建筑与土木工程 任课教师：李雪艳

基于MATLAB的四层框架结构动力响应

与研究

许可悦

（暨南大学理工学院力学与土木工程学院，广州 51063）

摘要：本文用MATLAB语言对四层建筑结构进行编程，计算结构的自振频率、振型，分析该结构在自由振动和一般激励下的动力响应。采用了Newmark-β法计算了在简谐正弦激励作用下结构的位移响应，并以此为初始条件结合瑞利阻尼矩阵计算了结构在简谐正弦荷载卸载后的结构自由振动的位移响应。

关键词：MATLAB、Newmark-β法、瑞利阻尼矩

The four layers of frame structure dynamic response

based on MATLAB and research

Xu Keyue

(Jinan university institute of mechanics and civil engineering department, Guangzhou)

Abstract：This paper uses MATLAB language to program the the four layers of frame structure , calculates the self-vibration frequency and vibration mode of the structure, and analyzes the dynamic response of the structure under free vibration and general excitation. Adopted the Newmark - beta method to calculate the displacement of the structure under the action of a harmonic sine excitation response, and the initial conditions in combination with the Rayleigh damping matrix to calculate the structure in the structure of harmonic sine load after unloading free vibration displacement response. Key words：MATLAB; Newmark-βmethod;Rayleigh orthogonal damping

1 引言

在社会发展的今天，很多科技人员都会遇到数值分析计算机应用等问题，一些传统的高级程序语言如 FORTRAN 等虽然能在一定程度上减轻计算量 ,但它们要求应用人员要具有较强的编程能力和对算法有深入的研究. 另外 ,在运用这些高级程序语言进行计算结果的可视化分析及图形处理方面 ,对非计算机专业的普通用户来说 ,存在着很大的难度. MATLAB 正是在这一应用要求背景下产生的数学类科技应用软件。

MATLAB 是是以矩阵计算为基础的程序设计语言 , MATLAB 具有功能丰富和完备的数学函数库及工具箱 ,大量繁杂的数学运算和分析可通过调用 MATLAB 函数直接求解 ,大大提高了编程效率 ,其程序编译和执行速度远远超过了传统的 FORTRAN 语言 ,因而用 MA T2LAB 编写程序 , 往往可以达到事半功倍的效果. 在图形处理方面 ,MA TLAB 可以给数据以二维、三维乃至四维的直观表现 ,并在图形色彩、视角、品性等方面具有较强的渲染和控制能力 ,使科技人员对大量原始数据的分析变得轻松和得心应手，从根本上满足了科技人员对工程数学计算的要求 ,将科技人员及普通用户从繁重的数学运算中解放出来。

本文通过实例介绍了 MATLAB 语言在结构动力学中的应用 ,通过结构的自振频率、振型以及动力响应在 MATALB 中的实现 ,说明了 MATLAB 在结构动力学计算中的强大功能及其编程的便捷性 ,使科技人员真正地从繁杂的计算中解放出来。

2 公式

2.1结构自振特性和特征值

结构自振特性是指结构的振动频率和振型，计算经验指出，结构的阻尼对结构的频率和振型的影响很小，所以求频率振型时可以不考虑阻尼的影响，此时系统的自由振动方程式如式（1）所示，即

??}?0 （1） [K]{u}?[M]{u 当系统做自由振动时，各质点做简谐振动，各节点的位移可表示为：

{u}?{?}sin(?t??) （2）

将（2）代入（1）式，并消去公因子得到

?[K]??[M]?????0 （3）

2因此求解式（1）就是寻找式（3）的ω2 值和非零向量{φ}，这种问题称为广义特征值问题，记λ

=ω2，λ和{φ}分别称为广义特征值和特征向量。式（3）可写成

?[K]??[M]?????0 （4）

这是一个齐次的线性方程组，若要有{φ}的非零解，系数行列式必须等于零，即

[K]??[M]????0 （5） 展开此式可得

K11??M11K21??M21...Kn1??Mn1K12??M12K22??M22......K1n??M1n...K2n??M2n?0

......Kn2??Mn2...Knn??Mnn如果弹性结构的总刚度矩阵[K]和总质量矩阵[M]的阶数都是n，则上述行列式展开后为λ的n次

代数方程式，由此可求出n个根，即n个广义特征值λi，i=1,2,...,n，从而求出结构的n个自振频率

?i??i,(i?1,2,...,n)。

求得广义特征值λi后，就可利用式（4）算得对应的广义特征向量{φi}，它代表n个质点的振幅构成的振型。

2.2用MATLAB对建筑结构自振频率、振型的分析

如图所示四层刚架结构 ,各层质量分别为 m1 = 1kg, m2 = 2kg, m3 =3kg;m4=4kg.各层的侧移刚度分别为 k1 = 800N /m , k2 = 1600N /m , k3 =3200N /m ,k4=6400N /m.求刚架的固有频率和振型.

用matlab语言编程： %% four_layer clc; clear;

%% k0每段的刚度 k0(1)=800; k0(2)=1600; k0(3)=3200; k0(4)=6400;

%% m每段的质量 m0(1)=1; m0(2)=2; m0(3)=3; m0(4)=4; %% 层数 n=4;

%% 定义m为质量矩阵，k为总刚度矩阵 m=zeros(n,n); k=zeros(n,n); %% 计算m for i=1:n;

m(i,i)=m0(i); end

%% 计算k k(n,n)=k0(n); for i=1:n-1;

k(i,i)=k0(i+1)+k0(i); end

for i=1:n-1;