初三数学培优

初三数学培优

1．如图，在平面直角坐标系中，一个含有45?角的三角板的其中一个锐角顶点置于点A（﹣3，﹣3）处，将其绕点A旋转，这个45?角的两边所在的直线分别交x轴，y轴的正半轴于点B，C，连结BC，函数y＝（x＞0）的图象经过BC的中点D，则（ ） A．

2．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，点M为边AB上的一动点，点N为边AC上的一动点，且∠MDN＝90°，则sin∠DMN为（ ） A．

B．

C．

D．

B．

C．

D．k＝

3．二次函数y＝2x2﹣2x+m（m为常数）的图象如图所示，如果当x＝a时，y＜0，那么当x＝a﹣1时，函数值（ ）A．y＜0 B．0＜y＜m C．m＜y＜m+4

D．y＞m

4．对某个函数给定如下定义：若存在实数M＞0，对于任意函数值y，都满足|y|≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其中最小值称为这个函数的边界值．现将有界函数y＝2（x﹣1）2+1（0≤x≤m，1≤m≤2）的图象向下平移m个单位，得到的函数边界值是t，且≤t≤2，则m的取值范围是（ ） A．1≤m≤

B．≤m≤

C．≤m≤

D．≤m≤2

5．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠ADE＝90°，AB＝4，AC＝3，F是DE的中点，若点E是直线BC上的动点，连接BF，则BF的最小值是 ．

6．如图，AC是□ABCD的对角线，且AC⊥AB，在AD上截取AH＝AB，连接BH交AC于点F，过点C作CE平分∠ACB交BH于点G，且GF＝

，CG＝3，则AC＝ ．

7．已知二次函数y＝3x2+2x+n，当自变量x的取值在﹣1≤x≤1的范围内时，函数与x轴有

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且只有一个公共点，则n的取值范围是 ．

8．如图，正方形AOBC的顶点O在原点，边AO，BO分别在x轴和y轴上，点C坐标为（4，4），点D是BO的中点，点P是边OA上的一个动点，连接PD，以P为圆心，PD为半径作圆，设点P横坐标为t，当⊙P与正方形AOBC的边相切时，t的值为 ． 9．如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点．例如，如图的四边形ABCD中，点M在CD边上，连结AM、BM，∠AMB＝90°，则点M为直角点．若点E、F分别为矩形ABCD边AB、CD上的直角点，且AB＝5，BC＝EF的长为 ．

10．已知直线y＝﹣x+7a+1与直线y＝2x﹣2a+4同时经过点P，点Q是以M（0，﹣1）为圆心，MO为半径的圆上的一个动点，则线段PQ的最小值为

11. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（0，﹣3）和B（3，0）．

（1）求c的值及a、b满足的关系式；

（2）若抛物线在A、B两点间从左到右上升，求a的取值范围；

（3）结合函数图象判断，抛物线能否同时经过点M（﹣1+m，n）、N（4﹣m，n）？若能，写出一个符合要求的抛物线的表达式和n的值，若不能，请说明理由．

2

，则线段

12. ．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边BC，AC上的点， 且∠ADE＝∠B．

（1）求证：AB?CE＝BD?CD；

（2）若AB＝5，BC＝6，求AE的最小值；

（3）如图2，若△ABC为等边三角形，AD⊥DE，BE⊥DE，点C在线段DE上，AD＝3，BE＝4，求DE的长．

13. 如图，在平面直角坐标系中，过原点O及A（8，0）、C（0，6）作矩形OABC，连接AC，一块直角三角形PDE的直角顶点P始终在对角线AC上运动（不与A、C重合），且保持一边PD始终经过矩形点B，PE交x轴于点Q

（1）＝ ；

3

（2）在点P从点C运动到点A的过程中，

的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围，如果不变，请说明理由，并求出其值；

（3）若将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，则PC的长为 ．

14.定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友好四边形”．

（1）如图1，在4×4的正方形网格中，有一个网格Rt△ABC和两个网格四边形ABCD与ABCE，其中是被AC分割成的“友好四边形”的是 ；

（2）如图2，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C，点B'落在边AC，过点A作AD∥A'B'交CA'的延长线于点D，求证：四边形ABCD是“友好四边形”； （3）如图3，在△ABC中，AB≠BC，∠ABC＝60°，△ABC的面积为6

4

，点D是∠

ABC的平分线上一点，连接AD，CD．若四边形ABCD是被BD分割成的“友好四边形”，求BD的长．

15.

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