石室中学高2021届2020-2021学年度上期入学考试
理科数学试卷
一、选择题（共12小题；共60分）
1.已知集合A???x,y?x?y?0,x,y?R?,B???x,y?x?y+1?0,x,y?R?，则集合AB的元素个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3 2．i为虚数单位， z?5i， 则z的共轭复数为 （ ） 1?2iA. 2?i B．2?i C. ?2?i D．?2?i
3．石室中学为了解1 000名学生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些学生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则以下4名学生中被抽到的是（ ） A．8号学生
B．200号学生
C．616号学生
D．815号学生
24．函数f(x)?lnx??1的零点所在的大致区间是（ ）
xA．(1,2) B．(2,e) C．(e,3) D．(3,??)
5．已知向量a?(m，1)，b?(3，m?2)，则m?3是a//b的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件
6 ．已知?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a?23，b?2，A?60?，则B为（ ） A．60°
B．60° 或120°
C．30°
D．30° 或150°
7．下列函数中，既是奇函数又在(0,??)单调递减的函数是（ ）
1
A．y?2x?2?x B．y?xtanx C．y?x?sinx
D．y?1?2x x8．抛物线C:y2?4x的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，点M在抛物线C上，
MAMF当
?2时，?AMF的面积为（ ）
A．1 B．2 C．2
D．22 9. 如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果， 则图中空白框内应填入（ ） A．P?N4NM4M B．P? C．P? D．P? 100010001000100010. 已知log2x?log3y?log5z??1，则2x,3y,5z的大小关系为（ ） A．2x?3y?5z
B．3y?2x?5z
C．5z?2x?3y D．5z?3y?2x
11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球表面积为（ ） A．11?
B．
14? 3C．
28? 3D．16?
112.已知a为常数，函数f?x??2ex?ax2?ax?1+a有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，则下
2列结论正确的是（ ）
A．a?0 B. 0?a?1 C．f?x1??5 D．f?x2??3 二、填空题（共4小题；共20分）
x2y213.已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为
ab
_______________
2
14.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为___________钱.
15．已知f(x)是定义域为R的奇函数，f?(x)是f(x)的导函数，f(?1)?0，当x?0时，
xf?(x)?3f(x)?0，则使得f(x)?0成立的x的取值集合是___________．
16.已知棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1，过对角线BD1作平面?交棱AA1于点E，交棱
CC1于点F，则：①平面?分正方体所得两部分的体积相等；②四边形BFD1E一定是平
行四边形；
③平面?与平面DBB1不可能垂直； ④四边形BFD1E的面积的最大值为2.
其中所有正确结论的序号为_______
三、解答题（共6小题；共70分）
17. (本题满分12分)石室中学高三学生摸底考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩(x)和物理成绩(y)，绘制成如图散点图：
根据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A,B．经调查得知，A考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计
3
424242的值：?xi?4620,?yi?3108,?xiyi?350350,??xi?x??16940,??yi?y??5250,22i?1i?1i?14242i?1i?1其中xi,yi分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，i?1,2,3,系数r?0.82．
,42，y与x的相关
（Ⅰ）若不剔除A,B两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时y与x的相关系数为r0．试判断r0与r的大小关系（不必说理由）；
（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程，并估计如果B考生参加了这次物理考试（已知B考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？
附：回归方程y?a?bx中, b??(x?x)(y?y)?xy?nxyiiiii?1nn?(x?x)ii?1n=2i?1n?xi?12i?nx2，a?y?bx
18．已知三次函数f(x)?x3?ax2?4x?1(a为常数). （1）当a?1时，求函数f(x)在x?2处的切线方程； （2）若a?0，讨论函数f(x)在x??0,???的单调性.
19.如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FA?FC，且?DAB??DBF?60?． （1）求证：AC?平面BDEF；
（2）求直线AD与平面AEF所成角的正弦值．
x2y2320．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为，短轴长为
ab22，直线l与椭圆有且只有一个公共点．
4
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在以原点O为圆心的圆满足：此圆与直线l相交于P，Q两点（两点均不在坐标轴上），且OP，OQ的斜率之积为定值，若存在，求出此定值和圆的方程；若不存在，请说明理由．
21．已知函数f?x??alnx?1?1，其中常数a?R，自然常数e?2.71828. x1e,e2?（Ⅰ）当实数a?时，求f?x?在区间???上的最值； 31?ax（Ⅱ）设函数g?x??e??f?x?在区间?0,e?上存在极值，求证：a?1?e?a?a?1.
x
22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为??2sin?，曲线C2的参数方程为?（Ⅰ）写出C2的极坐标方程；
?3?x?2cos?(?为参数）．
y??2?2sin??（Ⅱ）过原点O的射线与C1的异于极点的交点为A，?xOA??(0???)，B为C2上的一点，且?AOB?
?3，求?AOB面积的最大值．
5
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