第1课时两个基本计数原理1

第1课时两个基本计数原理(1)

教学目标：

1.准确理解分类计数原理与分步计数原理,弄清它们的区别; 2.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题. 教学重点：准确理解分类计数原理与分步计数原理

教学难点：会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题 教学过程 一.问题情境

(l)从甲地到乙地有3条公路、2条铁路，某人要从甲地到乙地，共有多少种不同的方法？ （见课本图（1））

（2）从甲地到乙地有3条道路，从乙地到丙地有2条道路，那么从甲地经乙地到丙地有多少种不同的方法？（见课本图（2））

上述两个问题有什么区别？由这两个问题分别可以得到怎样的数学模型？ 二．建构数学 对于问题（1）

从甲地到乙地：公路有3条，走任意一条公路都能完成从甲地到乙地这件事；铁路有2条，走任意一条铁路都能完成从甲地到乙地这件事.所以从甲地到乙地共有3＋2＝5种不同的方法.

我们把它总结为更为一般的情况：

分类计数原理:完成一件事,有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，??，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N?m1?m2???mn种不同的方法.

注意:在分类计数原理中，每一类方式中的每一种方法都能独立的完成这件事情. 对于问题（2）

必须经过先从甲地到乙地,再从乙地到丙地两个步骤,才能完成从甲地经乙地到丙地这件事(见课本图).

从甲地到乙地有3种不同的方法，从乙地到丙地有2种不同的方法.所以,从甲地经乙地到丙地共有3?2?6种不同的方法. 类比于分类计数原理，我们有:

分步计数原理：完成一件事,需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，??,做第n步有mn种不同的方法, 那么完成这件事共有

N?m1?m2???mn种不同的方法.

思考：你能看出这两个原理的区别与联系吗 ？ 两个原理的异同点:

1.相同点：都是讨论“完成一件事情”的所有不同方法种数问题;

2.不同点：一个与分类有关，一个与分步有关；分类计数原理是“分类完成”， 分步计数原理是“分步完成” . 分类时要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性，分步时要注意“步”与“步”之间的连续性. 注意: 在利用分类计数原理解题时：

(1)分类的标准必须一致,而且全面、不重不漏.

(2) “类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的. 即：它们两两的交集为空集！ (3)每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成. 在利用分步计数原理解题时： (1)分步的标准必须一致、正确.

(2)“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉.

(3)若完成某件事情需n步,每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分且必须依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成. 三.数学运用

例1.某班共有男生28名,女生20名,从该班选出学生代表参加校学代会.（课本例1）

（1）若学校分配给该班1名代表,有多少种不同的选法?

（2）若学校分配给该班2名代表,且男、女生代表各1名,则有多少种不同的选法?

变式练习：1.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，

（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？

解：（1）从书架上任取1本书，有3类办法：第1类办法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类办法是从第3层取1本体育书，有2种方法根据分类计数原理，不同取法的种数是4+3+2=9种. 所以，从书架上任取1本书，有9种不同的取法.

（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步从第2层取1本艺术书，有3种方法；第3步从第3层取1本体育书，有2种方法根据分步计数原理，从书架的第1、2、3层各取1本书，不同取法的种数是4?3?2?24种.

所以，从书架的第1、2、3层各取1本书，有24种不同的取法.

2.要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？ 解：从3名工人中选1名上日班和1名上晚班，可以看成是经过先选1名上日班，再选1名上晚班两个步骤完成，先选1名上日班，共有3种选法；上日班的工人选定后，上晚班的工人有2种选法根据分步计数原理，不同的选法数是N?3?2?6种.

例2．(1)在图 (1)的电路中,只合上一只开关以接通电路,有多少种不同的方法?

(2)在图(2)的电路中,合上两只开关以接通电路,有多少种不同的方法? （课本例2）

（1） （2）

例3.为了确保电子信箱的安全,在注册时通常要设置电子信箱密码.在网站设置的信箱中, (1)密码为4位,每位均为0到9这10个数字中的一个数字,这样的密码共有多少个?

(2)密码为4位,每位是0到9这10个数字中的一个,或是从A到Z这26个英文字母中的1个,这样的密码共有多少个?

(3)密码为4～6位,每位均为0到9这10个数字中的一个数字,这样的密码共有多少个?

（课本例3）

变式练习:(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复三位数？

(2)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？ (3)由数字0，l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？

解：(1)要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有5种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复， 这仍有5种选法，第三步确定个位上的数字，同理，它也有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是N?5?5?5?125. 答：可以组成125个三位数． (2)N?5?4?3?60. (3)N?5?5?4?100. 四.回顾小结

1. 分类计数与分步计数原理是两个最基本，也是最重要的原理，是解答排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础.

2.辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关键是“分类”还是“分步”，也就是说“分类”时，各类办法中的每一种方法都是独立的，都能直接完成这件事，而“分步”时，各步中的方法是相关的，缺一不可，当且仅当做完个步骤时，才能完成这件事. 五.计数原理作业1答案:

1.一个书包内装有5本不同的小说，另一书包内有6本不同学科的教材，从两个书包中任取

一本书的取法共有 种. 11

2.教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一层到4层共有 种走法. 23 3.某学校高一年级共8个班，高二年级6个班从中选一个班级担任学校星期一早晨升旗任务，共有 种安排方法. 14

4.将2封信投入3个信箱，可能的投放方法共有 种. 9 5.已知x∈｛1，2，3，4｝，y∈｛5，6，7，8｝，则xy可表示的不同值的个数为 . 答案: 15. 注意:3?8?4?6.

6.a∈｛1，2，3｝，b∈｛4，5，6｝，r∈｛9，16，25｝,则方程(x?a)2?(y?b)2?r2所

表示的不同圆共有 个. 27

A B

7．如右图，一条电路从A到B接通共

有 条不同的线路.(每条线路仅含一条通路) 7 8．（1）若1≤x≤4，1≤y≤5，则以有序整数对（x ，y）为坐标的点共有多少个？ 20 （2）若x ,y∈N且x+y≤6，则有序自然数对（x ，y）有多少个？ 28

9．某座四层大楼共有三个大门，楼内有两个楼梯，那么由楼外到这座楼内的第四层的不同

走法种数有多少？ 3?2?24

3x2y210．设椭圆的方程为2?2=1(a?b?0)，a∈｛1,2,3,4,5,6,7｝, b∈｛1,2,3,4,5｝,这样

ab的椭圆共有多少个？20