合肥学院数理系2013届数学与应用数学专业毕业论文（综述）
第一章：绪论
1.1引言
我们称形如行列式
1x1Dn?x12x1n?11x22x21xn2xn (1)
n?1x2n?1xn称为n 阶的范德蒙（Vander monde）行列式.
我们来证明，对任意的n?n?2?,nD=xijXij阶范德蒙行列式等于
x1,x2,x3,,xn
这n 个数的所有可能的差xi-xj（1≤j＜i ≤n）的乘积.
1.2 范德蒙德行列式的证明
1.2.1 用定理证明范德蒙德行列式
已知在n级行列式
x11
x1jxijxnjx1nxinxnn
D=xi1xn1中，第i行（或第j列）的元素xij除外都是零，那么这个行列式等于xij与它的代数余子式Aij的乘
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积D=xijXij，在
111x1x2xnDn?x21x22x2n
xn?11xn?1xn?12n中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的x1倍得
11110x2?x1x3?x1xn?x1Dn?0x2(x2?x1)x3(x3?x1)xn(xn?x1)
0xn?2?2n?2(x2?x1)an3(a3?a1)a2n(an?a1)根据上述定理
x2?x1x3?x1xn?x1D(x2?x1)x(x3?x1)x(xn?x1)n?x2
x(x2?x1)x(x3?x1)x(xn?x1)提出每一列的公因子后得
111D2x3xnn?(x2?x1)(x3?x1)(xn?x1)?xxn?22xn?23xn?2n最后一个因子是n?1阶范德蒙行列式，用Dn?1表示，则有
Dn?(x2?x1)(x3?x1)(xn?x1)Dn?1
同样可得
Dn?1?(x3?x2)(x4?x2)(xn?x2)Dn?2
此处Dn?2是一个n-2阶范德蒙行列式，如此继续下去，最后得
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Dn?(x2?x1)(x3?x1)(xn?x1)(a3?a2)(xn?x2)(xn?xn?1)?1?j?i?n?(xi?xj)
1.2.2 新的证明方法： 数学归纳法
我们对n作归纳法. （1）当n?2时，
1x11x2?x2?x1 结果是对的.
（2）假设对于n?1级的范德蒙行列式结论成立，现在来看n 级的情况.在
1x1Dn?x12x1n-1
1x22x21x32x31xn2xn
n-1x2n-1x3n-1xn中，第n行减去第n?1行的x1倍，第n?1行减去第n?2行的x1倍，也就是由下而上依次地从每一行减去它上一行的x1倍，有
10d?01x2?x12x2?x1x21x3?x1x32?x1x31xn?x1xn?x1xnn?1n?2xn?x1xn
n?1n?20x2?x1x2x3n?1?x1x3n?2x2?x1?
x3?x1x32?x1x3xn?x1xn?x1xn
x22?x1x2x2n?1?x1x2n?2x3n?1?x1x3n?2
xnn?1?x1xnn?27
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?(x2?x1)(x3?x1)(xn?x1)1x21x31xn
x2n?2x3n?2xnn?2后面这行列式是一个n-1级的范德蒙德行列式，根据归纳法假设，它等于所有可能差xi?xj（2
≤j＜i≤n）；而包含xi的差全在前面出现了.因之，结论对n级范德蒙德行列式也成立.根据数
学归纳法，完成了证明. ?
用连乘号，这个结果可以简写为
1x22x21x32x31xn2xn?1?j?i?n?(xi?xj)
x1n?1n?1x2n?1xn由这个结果立即得出，范德蒙德行列式为零的充分必要条件是
x1,x2,x3,,xn
这n个数中至少有两个相等.
1.3 范德蒙行列式的性质
利用行列式的性质容易推得：
1、 若将范德蒙行列式Dn逆时针旋转90可得
1xnn?1xnn?1xn?11xn?11x1?(?1)n(n?1)Dn2
x1n?12、 若将范德蒙行列Dn顺时针旋转90，可得
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