结构化学 第一章练习题答案

现代结构化学 2010.9

第一章 量子力学基础知识

练习题

1.（北师大95）微观粒子体系的定态波函数所描述的状态是（ B ） A. 波函数不随时间变化的状态 B．几率密度不随时间变化的状态 C. 自旋角动量不随时间变化的状态 D. 粒子势能为零的状态

2.（北大93）?是描述微观体系（运动状态）的波函数。

3.（北师大20000）若???1?ei??1，其中?为实常数，且?1已归一化，求

?的归一化常数。

解：设??A(?1?ei??1)是归一化的，

?2i?i?*2?i?i???d??A(??e?)(??e?)d??A(2?e?e)?1 111??1A?12?e?i??ei??12?2cos?

4.（东北师大99）已知一束自由电子的能量值为E,写出其德布罗意波长表达式，并说明可用何种实验来验证（10分）

??hhh?? E=1/2mv2 (mv)2=2mE 电子衍射实验 Pmv2mE5.（中山97）（北大98）反映实物粒子波粒二象性的关系式为（E?hv,P?h?）

l26．（中山97）一维势箱长度为l，则基态时粒子在()处出现的几率密度最大。

（中山2001）一维势箱中的粒子，已知??(

l3l(2n?1)l)处出现的几率密度最大。 ,,.......,2n2n2n2n?xsin，则在ll解法1：ψ的极大和极小在ψ2中都为极大值，所以求ψ的极值（包括极大和极小）位置就是几率密度极大的位置。

2n?x??sinll

2n?n?x?'? cos?0llln?x(2m?1)?? m?0,1,2,3...l2 (2m?1)lx? m?0,1,2,3...2n 0?x?l ?(2m?1)?2n 解法2：

22n?x2n?x2P???sin??sin 几率密度函数

llll

求极值：(sin2α=2Sinα?cosα)

2n?xn?xn?P'?2sincos llll2n?2n?x?2sin?0ll2n?x2n?xsin?0 =m? m?0,1,2,3,...llmlx?2n2xm = 0?x?l ?m?2nlnm?0,2n为边界，不是极值点m?1为极大值，m?2为极小值...ml?极大值位置为 x? m?1,3,5...(2n?1)2n3h27.（北大93）边长为l的立方势箱中粒子的零点能是(E?)

8ml28.（北大94）两个原子轨道?1和?2互相正交的数学表达式为(??1??2d??0) 9. 一维谐振子的势能表达式为V?kx2，则该体系的定态薛定谔方程中的哈密顿算符为（ D）

22121122??kx C. ??2?kx2 A. kx B. 2m22m222d212d212?kx E. ??kx D. ?222mdx22mdx2212?,A?和A?对任意f的作用为 10.(北师大04年) 设算符A1,A234??f?A1?f?2f,A?f?df,A?f?f?f, f,A234dx?,A?) 指出哪些算符为线性算符(A2311.?1,?2是某原子的可能状态,下列哪些组合也是该原子的可能状态? a. ?1??2 b. ?1??2 c . ?1??2 d. ?1??2 (a, d)

12. 写出一个电子在长度为a的一维势箱中运动的Hamilton算符.

d??? H 22mdx2213.（北师大02年）

(1) 给出用原子单位表示的下列算符表达式

222???2?2?2?P?2?P??PP??(2??)xyz(a)电子的动量平方算符为 2?x?y?z2

(b) 原子核看作不动，He原子的Hamilton算符

???1?2?1?2?2?2?1 H1222ra1ra2r12???i(x??y?)Mz?xpy?ypx Mz?y?x(c)角动量在z方向分量的算符 ????i或 M ?1z??(2). H原子处于态 ??2?1s?6?2s，?1s和?2s分别为H原子的1s和2s原子轨道，对应的能量分别为E1s,E2s，给出H原子的平均能量。 解法一 E?????H?d????d??