§2.3.1平面向量基本定理
§2.3.2平面向量正交分解及坐标表示
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【学习目标】1. 掌握平面向量基本定理；了解平面向量基本定理的意义；
2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
【重难点】平面向量基本定理；正交分解下的坐标表示. 【学习过程】 一、自主学习 （一）知识链接：
复习1：向量b、aa?0是共线的两个向量，则a、b之间的关系可以表示为 . 复习2：给定平面内任意两个向量e1、e2（如下图），请同学们作出向量3e1?2e2、e1?2e2.
（二）自主探究：（预习教材P93—P96） 探究：平面向量基本定理
问题2：如果两个向量不共线，则它们的位置关系我们怎么表示呢？
??2.两向量的夹角与垂直：:我们规定：已知两个非零向量ab，作OA?a，OB?b，则 叫
?做向量a与b的夹角。如果?AOB??,则?的取值范围是 。当 时，
???表示a与b同向；当 时，表示a与b反向；当 时，表示a与b垂直。
记作：a?b.在不共线的两个向量中，??90，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为_____________，叫做把向量正交分解。
问题3：平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示. 对于
直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？
3、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同于两个_______作为基为基
??y，底。对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、使得____________，
这样，平面内的任一向量a都可由__________唯一确定，我们把有序数对________叫做向量的坐标，记作=___________此式叫做向量的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标。几个特殊向量的坐标表示：i=__________，j=__________，0=__________ 二、合作探究
学法引领：首先画图分析，然后寻找表示。 【例1】（见课本P94例1）
CD，E、F分别是DC、AB的中点，设AD?a，【例2】已知梯形ABCD中，AB//DC，且AB?2学法指导： 在物理中我们研究了力的合成与分解，力的合成与分解互为逆运算，都符合平行四边形
法则：如果用表示两个共点力F1和F2的线段为邻边作平行四边形，那么合力F的大小和方向就可以
用F1、F2所夹的角的大小来表示。（注：已知分力要求合力，叫做力的合成。已知合力要求分力叫做力的分解。）
即力的合成就是由平行四边形的两邻边求对角线的问题。力的分解是力的合成的逆运算，同样遵循的平行四边形定则。力的分解就是由对角线求两邻边的问题，这是我们在物理中学过的知识。在数学中，物理中的力，本质上就是我们数学中的向量，如果已知平面内的某一向量m（其中m为非零向量），就可以按照平行四边形法则，将其分解到两个向量e1，e2（其中e1，e2为非零向量）两个方向。分解到e1方向的向量记为a，则a与e1共线，即a??1e1，分解到e2方向的向量记为b，则b与e2共线，即b??2e2，那么m?a?b??1e1??2e2.
问题1：复习2中，平面内的任一向量是否都可以用形如?1e1??2e2的向量表示呢？
AB?b。试用a,b为基底表示DC、BC.
第 1 页 共 2 页 如果你有问题，赶紧记下来，作为质疑的问题，你的问题越多，你的收获越多！
???1.平面向量的基本定理:如果e1,e2是同一平面内两个 的向量，a是这一平面内的任一向量，
??那么有且只有一对实数?1，?2，使 。其中，不共线的这两个向量e1,e2叫做表示
这一平面内所有向量的基底。
【例3】（见课本P96例2）
【例4】已知O是坐标原点，点A在第一象限，OA?43，?xOA?60，求向量OA的坐标.
A.OC?OA?OB B.OC?(注：?xOA即为向量OA与x轴的正方向的夹角.)
A组
1. 设O是平行四边形ABCD两对角线AC与BD的交点，下列向量组，其中可作为这个平行四边形所在平面表示所有向量的基底的是（ ）
①AD与AB ②DA与BC ③CA与DC ④OD与OB A.①② B.③④ C.①③ D.①④
2. 已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足?3x?4y?e1??2x?3y?e2?6e1?3e2，则x?y的值等于（ ）
A.3 B.?3 C.0 D.2 3. 若O、A、B为平面上三点，C为线段AB的中点，则（ ）
11OA?OB C.AB?2OC D.OC?OA?OB 22????
【规律性方法总结】
三、课堂反馈
1、在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，若BC?5e1，DC?3e2，则OC等于多少？
2、已知点A时坐标为（2，3），点B的坐标为（6，5），O为原点，则OA=________，OB=_______. 3、已知向量a的方向与x轴的正方向的夹角是30°，且a?4，则a的坐标为__________. 4、已知两向量e1、e2不共线，a?2e1?e2，b?3e1?2?e2，若a与b共线，则实数?= .
四、达标检测（A组必做，B组选做）
4.已知e1,e2是同一平面内两个不共线的向量，且AB＝２e1+ke2，CB＝e1+３e2，CD＝２e1－
????????e2，如果A、B、D三点共线，则k的值为
B组
??1、已知AM是?ABC的BC边上的中线，若AB＝a，AC＝b，则AM＝（ ）
1??1??1??1??Ａ．（a－b） Ｂ．－（a－b） Ｃ．－（a＋b） Ｄ．（a＋b）
22222、已知点A（2，2），B（-2，2），C（4，6），D（-5，6），E（-2，-2），F（-5，-6），在平面直角坐标系中，分别作出向量AC、BD、EF，并求出向量AC、BD、EF的坐标。
【学习（教学）反思】：（反思静悟，体验成功）
??第 2 页 共 2 页 如果你有问题，赶紧记下来，作为质疑的问题，你的问题越多，你的收获越多！
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