5 不等式与线性规划
1.一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间).
解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小.
2.一元二次不等式的恒成立问题
?a>0，2
(1)ax＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是?
?Δ<0.?a<0，
(2)ax＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是?
?Δ<0.
2
3.分式不等式
f?x?
>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)； g?x?
?f?x?g?x?≥0?≤0?，f?x?
≥0(≤0)?? g?x??g?x?≠0.
4.基本不等式
(1)①a＋b≥2ab(a，b∈R)当且仅当a＝b时取等号. ②
a＋b
≥ab(a，b∈(0，＋∞))，当且仅当a＝b时取等号. 2
2
2
(2)几个重要的不等式：①ab≤?
2
2
?a＋b?2
?(a，b∈R)； ?2?
②
a＋ba＋b2ab
≥≥ab≥(a>0，b>0，当a＝b时等号成立). 22a＋b
1
③a＋≥2(a>0，当a＝1时等号成立)；
a
④2(a＋b)≥(a＋b)(a，b∈R，当a＝b时等号成立). 5.可行域的确定
2
2
2
“线定界，点定域”，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域. 6.线性规划
(1)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；
(2)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个.
1.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错.
2.解形如一元二次不等式ax＋bx＋c>0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论.
f?x?
3.应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视g(x)≠0.
g?x?4.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝x＋2＋3
的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数y＝x＋(x<0)时应先转化为正数再求解. 2
xx＋2
5.解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解.
y－2
6.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如是指已知区域内的点(x，y)与
x＋2点(－2，2)连线的斜率，而(x－1)＋(y－1)是指已知区域内的点(x，y)到点(1，1)的距离的平方等.
1.下列命题中正确的个数是( )
ab1122
①a>b，c>d?a＋c>b＋d；②a>b，c>d?>；③a>b?|a|>|b|；④a>b?<.
dcabA.4B.3C.2D.1 答案 C
ab
解析 ①a>b，c>d?a＋c>b＋d正确，不等式的同向可加性；②a>b，c>d?>错误，反例：若a＝3，b＝2，
dcab111122
c＝1，d＝－1，则>不成立；③a>b?|a|>|b|正确；④a>b?<错误，反例：若a＝2，b＝－2，则<不成
dcabab立.故选C.
2.设M＝2a(a－2)＋4，N＝(a－1)(a－3)，则M，N的大小关系为( ) A.M>NB.M 2 2 2 2 1 解析 M－N＝2a(a－2)＋4－(a－1)(a－3)＝a＋1>0.故选A. 32 3.若不等式2kx＋kx－≥0的解集为空集，则实数k的取值范围是( ) 8A.(－3，0) B.(－∞，－3)C.(－3，0] D.(－∞，－3)∪(0，＋∞) 答案 C 2 ?k<0，3 解析 由题意可知2kx＋kx－<0恒成立，当k＝0时成立，当k≠0时需满足?代入求得－3 8Δ<0，? 2 以实数k的取值范围是(－3，0]. ?y≥x－1， 4.(2016·四川)设p：实数x，y满足(x－1)＋(y－1)≤2，q：实数x，y满足?y≥1－x， ?y≤1， 2 2 则p是q的( ) A.必要不充分条件 C.充要条件 答案 A B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 如图，(x－1)＋(y－1)≤2，①表示圆心为(1，1)，半径为2的圆内区域的所有点(包括边界)； 22 ?y≥x－1，?y≥1－x，?y≤1， ②表示△ABC内部区域的所有点(包括边界).实数x，y满足②则必然满足①，反之不成立.则p 是q的必要不充分条件.故选A. 1 5.不等式≥－1的解集为( ) x－1A.(－∞，0]∪[1，＋∞) C.(－∞，0]∪(1，＋∞) 答案 C 11x 解析 由题意得，≥－1?＋1＝≥0，解得x≤0或x>1，所以不等式的解集为(－∞，0]∪(1，＋ x－1x－1x－1∞)，故选C. B.[0，＋∞) D.[0，1)∪(1，＋∞) ?2x－y－6≤0，5 6.设第一象限内的点(x，y)满足约束条件?目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为40，则 a?x－y＋2≥0， 1 ＋的最小值为( ) b259 A.B.C.1D.4 64答案 B 解析 不等式表示的平面区域如图中阴影部分，直线z＝ax＋by过点(8，10)时取最大值，即8a＋10b＝40，51514a＋5b14a25b1 4a＋5b＝20，从而＋＝(＋)＝(25＋＋)≥(25＋2 abab2020ba20519 等号，因此＋的最小值为，故选B. ab4 4a25b9 ×)＝，当且仅当2a＝5b时取ba4 ?y≥1， 7.已知实数x、y满足?y≤2x－1， ?x＋y≤m， A.6B.5C.4D.3 答案 B 如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于( ) 解析 作出不等式组对应的平面区域，如图所示，由目标函数z＝x－y的最小值为－1，得y＝x－z，及当z ?y＝x＋1?x＝2， ＝－1时，函数y＝x＋1，此时对应的平面区域在直线y＝x＋1的下方，由???即A(2， y＝2x－1y＝3，?? 3)，同时A也在直线x＋y＝m上，所以m＝5.
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