1.1.3 导数的几何意义
明目标、知重点
1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系． 2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义．
3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义．
1．导数的几何意义 (1)割线斜率与切线斜率
设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0Δyf?x0＋Δx?－f?x0?＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝.
ΔxΔx当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝Δlim x→0(2)导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．函数的导数
当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)是
f?x0＋Δx?－f?x0?
.
Δxf(x)的导函数(简称导数)．f′(x)也记作y′，
即f′(x)＝y′＝Δlim x→0
f?x＋Δx?－f?x?
.
Δx
[情境导学]
如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？这就是本节我们要研究的主要内容． 探究点一 导数的几何意义
思考1 如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线
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PPn的变化趋势是什么？
答 当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线，该切线的斜率为Δlim x→0斜率k＝f′(x0)．
思考2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？
答 不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．其图象特征是：切点附近的曲线均在切线的同侧，如l2.
思考3 曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？ 答 曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，既使在曲线上也不一定是切点．
小结 曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，欲求斜率，先找切点P(x0，
f?x0＋Δx?－f?x0?
，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的
Δxf(x0))．
思考4 如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？
答 先确定切点P(x0，f(x0)) ，再求出切线的斜率k＝f′(x0)，最后由点斜式可写出切线方程．
例1 已知曲线y＝x，
(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点P(3,5)的切线方程． 解 (1)设切点为(x0，y0)， ?x0＋Δx?－x0
∵y′|x＝x0＝Δlim x→0Δx22
x20＋2x0·Δx＋?Δx?－x0
＝Δlim ＝2x0， x→0Δx2
2
2
∴y′|x＝1＝2.∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为
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y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
(2)点P(3,5)不在曲线y＝x上，设切点为(x0，y0)， 由(1)知，y′|x＝x0＝2x0， ∴切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)， 由P(3,5)在所求直线上得 5－y0＝2x0(3－x0)，①
再由A(x0，y0)在曲线y＝x上得y0＝x0，② 联立①，②得，x0＝1或x0＝5. 从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)． 当切点为(1,1)时， 切线的斜率为k1＝2x0＝2，
此时切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1， 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10， 此时切线方程为y－25＝10(x－5)， 即y＝10x－25.
综上所述，过点P(3,5)且与曲线y＝x相切的直线方程为y＝2x－1或y＝10x－25. 小结 (1)求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率，然后利用点斜式写出切线方程；(2)求曲线过某点的切线方程，要先求出切点坐标，再按(1)完成解答．
跟踪训练1 已知曲线y＝2x－7，求：
(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? (2)曲线过点P(3,9)的切线方程． 解 y′＝Δlim x→0
Δy Δx2
22
2
2
2
2
[2?x＋Δx?－7]－?2x－7?
＝Δlim x→0Δx＝Δlim (4x＋2Δx)＝4x. x→0
(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5， ∴切点坐标为(1，－5)．
即曲线上点(1，－5)的切线平行于直线4x－y－2＝0. (2)由于点P(3,9)不在曲线上．
设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0， 故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)． 将P(3,9)及y0＝2x0－7代入上式，
2
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得9－(2x0－7)＝4x0(3－x0)．
解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)． 从而所求切线方程为8x－y－15＝0和16x－y－39＝0.
跟踪训练2 若曲线y＝x＋3ax在某点处的切线方程为y＝3x＋1，求a的值． 解 ∵y＝x＋3ax.
?x＋Δx?＋3a?x＋Δx?－x－3ax∴y′＝Δlim x→0Δx3xΔx＋3x?Δx?＋?Δx?＋3aΔx＝Δlim x→0Δx＝Δlim[3x＋3xΔx＋(Δx)＋3a]＝3x＋3a. x→0设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)， 结合已知条件，得
3
2?a＝1－，?23x＋3a＝3，
解得? x＋3ax＝y＝3x＋1，3
－4??x＝2.
2
030
0
0
0
0
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
2
?????
3
∴a＝1－
2
. 2
探究点二 导数与函数的单调性
思考1 观察下边两个图形，在曲线的切点附近(Δx→0时)曲线与那一小段线段有何关系？
答 能在曲线的切点附近，曲线与切线贴合在一起，可用切线近似代替曲线．
思考2 按照切线近似代替曲线的思想，切线的单调性能否表示曲线的变化趋势？如上左图，若在某一区间上曲线上各点的切线斜率均为负，则可判定在该区间上曲线的单调性如何？ 答 在连续区间上切线斜率的正负，对应了曲线的单调性．
思考3 如上右图，当t在(t0，t2)上变化时，其对应各点的导数值变化吗？会怎样变化？ 答 会．当t变化时h′(t)便是t的一个函数，我们称它为h(t)的导函数． 例2 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2
＋6.5t＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2
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