∴f′(1)＝－1.
8.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线
方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)等于( )． A．2 C．4 答案 A
解析 易得切点P(5,3)， ∴f(5)＝3，k＝－1， 即f′(5)＝－1.
∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.
B．3 D．5
?π?2
9．设P为曲线C：y＝x＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为?0，?，
4??
则点P横坐标的取值范围为________． 1??答案 ?－1，－?
2
??
解析 ∵f′(x)
?x＋Δx?＋2?x＋Δx?＋3－?x＋2x＋3?
＝Δlim x→0Δx?2x＋2?·Δx＋?Δx?＝Δlim x→0Δx＝Δlim (Δx＋2x＋2)＝2x＋2. x→0
∴可设P点横坐标为x0，则曲线C在P点处的切线斜率为2x0＋2. 1由已知得0≤2x0＋2≤1，∴－1≤x0≤－，
2
2
2
2
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1??∴点P横坐标的取值范围为?－1，－?. 2??
10．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线． 解 曲线y＝3x－4x＋2在点M(1,1)处的切线斜率 3?1＋Δx?－4?1＋Δx?＋2－3＋4－2
k＝y′|x＝1＝Δlim x→0Δx＝Δlim (3Δx＋2)＝2. x→0
∴过点P(－1,2)的直线的斜率为2， 由点斜式得y－2＝2(x＋1)， 即2x－y＋4＝0.
所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.
11．已知抛物线y＝x＋4与直线y＝x＋10.求： (1)它们的交点；
(2)抛物线在交点处的切线方程．
?y＝x＋4，?解 (1)由?
??y＝x＋10，??x＝－2
解得?
??y＝8
2
2
2
2
2
??x＝3
或???y＝13
.
∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)． (2)∵y＝x＋4，
?x＋Δx?＋4－?x＋4?
∴y′＝Δlim x→0Δx?Δx?＋2x·Δx＝Δlim x→0Δx＝Δlim (Δx＋2x)＝2x. x→0
∴y′|x＝－2＝－4，y′|x＝3＝6，
即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x＋y＝0； 在点(3,13)处的切线方程为6x－y－5＝0.
12．设函数f(x)＝x＋ax－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
解 ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝(x0＋Δx)＋a(x0＋Δx)－9(x0＋Δx)－1－(x0＋ax0－9x0－1) ＝(3x0＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)＋(Δx)，
2
2
3
3
2
3
2
3
2
2
2
2
2
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∴
Δy22
＝3x0＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx). Δx当Δx无限趋近于零时， Δy2
无限趋近于3x0＋2ax0－9. Δx即f′(x0)＝3x0＋2ax0－9 ∴f′(x0)＝3(x0＋)－9－.
33
当x0＝－时，f′(x0)取最小值－9－.
33∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行， ∴该切线斜率为－12. ∴－9－＝－12. 3解得a＝±3.又a<0， ∴a＝－3. 三、探究与拓展
13．已知抛物线y＝ax＋bx＋c通过点P(1,1)，Q(2，－1)，且在点Q处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值．
解 ∵曲线y＝ax＋bx＋c过P(1,1)点， ∴a＋b＋c＝1.① Δy∵y′＝Δlim x→0Δx2
2
2
a2
a2
aa2
a2
a?x＋Δx?2＋b?x＋Δx?＋c－?ax2＋bx＋c?＝Δlim x→0Δx?2ax＋b?Δx＋a?Δx?＝Δlim ＝Δlim (2ax＋b＋aΔx)＝2ax＋b， x→0x→0Δx∴y′|x＝2＝4a＋b，∴4a＋b＝1.②
又曲线过Q(2，－1)点，∴4a＋2b＋c＝－1，③ 联立①②③解得a＝3，b＝－11，c＝9.
2
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