一元二次方程根与系数的关系及应用-强方法

一元二次方程根与系数的关系及应用

【定理内容】

一、韦达定理

?b?b2?4ac1.ax?bx?c?0?a?0?的求根公式： 当b?4ac?0时，x?

2a2222.定理的内容：若x1，x2为ax?bx?c?0?a?0?的两根：

则 x1?x2??bc ，x1?x2?

aa[注：这就是一元二次方程根与系数的关系，常称为韦达定理] 二、韦达定理的应用

（一）已知一根，求另一根。

1.已知方程3x?5x?2?0的一个根是?2，求另一个根。

2解：设另一根为a51由韦达定理得?2?a??,a?

3321(?2a??,a?)33设出另一根，由韦达定理直接解得。亦可用于验根，确定根的符号。 （二）求关于两根的代数式的值。（常见题型）

1. 设x1，x2方程2x?x?5?0的两个根，求下列代数式的值。（先写x1+x2=?，x1x2=?） （1）x1?x2 （2）

222221111? （3）2?2 x1x2x1x22（4）x1?x2?x2?x1 （5）?x1?x2? （6）x1?x2

15解：由韦达定理x1?x2?,x1x2??222(1)x12?x2?(x1?x2)2?2x1x2(2)11x1?x2??x1x2x1x2

2(x1?x2)2?2x1x211x12?x2(3)2?2?22?x1x2x1x2(x1x2)2

2(4)x12?x2?x2?x1?x1x2(x1?x2)2(5)(x1?x2)2?x12?x2?2x1x2?(x1?x2)2?4x1x2

(6)|x1?x2|?(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2借助完全平方公式变形之后，代入即可。

42.已知：?、?是方程x?x?1?0的两实根，求：??3?．

2解：Q?、?是方程x2?x?1?0的两个根??2=?+1，?+?=1??=1????4?3??(?+1)2?3(1??)?5（三）确定方程中待定字母的值

21.已知关于x的方程x?(k?1)x?k?2?0的两个实数根的平方和等于6，求k的值。

解：由韦达定理x1?x2?k?1,x1x2?22由题意x12?x2?6

(x1?x2)2?2x1x2?6借助完全平方公式变形之后，代入即可求得k值。 （四）讨论根的特点

221.k取何值时，方程3x?2(3k?1)x?3k?1?0

（1）有一根为0 ； （2）有两个互为相反数的实数根； （3）两根互为倒数。

2(3k?1)3k2?1解：由韦达定理x1?x2?,x1x2?33(1)x1x2?0

(2)x1?x2?0(3)x1x2?1代入即可求得k值。 （五）求作一元二次方程

1.求作一元二次方程，使它的两根分别为1和2；

解：根据根与系数的关系可得：1+2?31,?2?2?以1和2为根的的方程可以是x2?3x+2?0（六）在二次函数中判断系数的符号

已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象与x轴交于不同的两点，且都在原点右侧，则点（a，c）在第____象限．

x1?x2??x1?x2?2?0ac?0a a?0 c?0【跟踪练习】

1.若方程x+(a－2)x－3=0的两根是1和－3，则实数a = __________

22.设x1,x2是方程2x－6x＋3＝0的两根，则x1?x2的值是（ ）

2222 A 15 B 12 C 6 D 3

3．（2017）关于x的方程x2＋5x＋m＝0的一个根为－2，则另一个根是( ) A．－6

B．－3

C．3

D．6

4.不解方程，求一元二次方程2x2＋3x－1＝0两根的（1）平方和；（2）倒数和。

5.设x1,x2是方程2x?4x?3?0的两根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。 (1) ?x1?1??x2?1? (2) ?x1?x2? (3)

22x2x1? x1x2

6.求一个一元二次方程，使它的两根分别是?105,。 32

7.已知x1,x2是关于 x 的方程 x2+ px + q = 0的两根，x1?1、x2?1是关于 x 的方程x2+ qx + p = 0 的 两根，求常数 p、q的值。，