概率论与数理统计教程-魏宗舒-课后习题解答答案-7-8章

由于F?17.1?6，所以在??0.01上水平上认为温度对得率有显著影响。 8.2 下面记录了三位操作工分别在四台不同机器上操作三天的日 产量：

机 器 A1 A2 操 作 工 甲 乙 丙 15 15 17 17 19 16 16 18 21 17 17 17 15 15 15 19 22 22 15 17 16 18 17 16 18 18 18 18 20 22 15 16 17 17 17 17 A3 A4 试在显著性水平??0.05下检验： （1） 操作工之间有无显著性差异？ （2） 机器之间的差异是否显著？

（3） 操作工与机器的交互作用是否显著？

解 用r表示机器的水平数，s表示操作工的水平数，t表示重复实验次数，列出计算表和方差分析表： r?4,s?3,t?3,n?rst?36

yij 甲 47 51 48 60 206 乙 54 45 51 48 198 丙 55 63 54 51 223 yi. A1 A2 156 159 153 159 627 A3 A4 y.j

???yijk2ijk2?11065， ??yik.?33071

ij?yi2i..?98307， ?y?131369，

2.j.j(???yijk)2n?10920.25

1SA??98307?10920.25?2.75

91SB??131369?10920.25?27.17

121SA?B??33071?10920.25?2.75?27.17?73.50

3ST?11065?10920.25?144.75

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Se?144.75?2.75?27.17?77.50?41.33

方差分析表

来源 机器A 操作工B 交互作用A?B e 平方和 2.75 27.17 73.50 41.33 144.75 自由度 3 2 6 24 35 均方和 0.92 13.59 12.25 1.72 F比 <1 7.90 7.12 总和 F0.95(2,24)?3.40F0.95(6,24)?2.51 由于FB?7.90?3.40,FA?B?7.12?2.51，所以在??0.05水平上，操作工有显著差异，机器之间无显著差异，交互作用有显著差异。

8.3通过原点的一元线性回归模型时怎样的？通过原点的二元线性回归模型是怎样的？分别写出结构矩阵X，正规方程组的系数矩阵X?X，常数项矩阵X?Y，并写出回归系数的最小二乘法估计公式。 解 通过原点的一元线性回归模型：

??y???x??????1,2,L,N ?2??各??独立同分布，??:N(0,?)?x1??y1?????NNxy22X???，X?X??x?,X?Y?(x1,x2LxN)?2???x?y?

?M??M???1??1????x?N??yN??的最小二乘估计为

???X?X??1X?Y?xy/x2 ????????1??1NN通过原点的二元线性回归模型：

??y???1x?1??2x?2?????1,2,L,N ? 2??各??独立同分布，??:N(0,?) 14

???x2?1?x?1x??2???X?X?????x11x12????x2?,?2X??x21x?22??x?1x?2??????

?MM?，

??x??x??1y??N1x?N2?X?Y????????x??2y?????1,?2的最小二乘估计为：

???????1????????X?X??1X?Y 2??8.4 对不同的元麦堆测得如下数据：

堆 号 1 2 3 4 5 6 重量p 2813 2705 11103 2590 2131 5181 跨度l 3.25 3.20 5.07 3.14 2.90 4.02 试求重量对跨度的回归方程，并求出根方差?的估计值。

解 设所求回归方程为p????0???1l，由数据可以求出： ?p??26523,?p2?l??109230.58,?p??176598625 ??? ?l2??21.58,?80.9374,N?6 ??l??由最小二乘法估计公式可知

?p1?l?? ???Np?l????12?4165.85

?l21???N???l????????10?N?p????11?l???10562 ?N?故可得回归方程：p???10562?4165.85l ?2的估计是

15

N?2????p21(2???

??2?1????p?)???1??p?l??1(?p?)(?l?)?????N????N??????

?428538则?的估计为655 8.5 设

yi??0??1xi??22(3xi?2)??ii?1,2,3x1??1,x2?0,x3?1

?1,?2,?3相互独立同服从于N(0,?2)。 （1） 写出矩阵X

（2） 求?0,?1,?2的最小二乘估计

（3） 证明当?2?0时，?0,?1的最小二乘估计不变

?解 （1）X??1?11??10?2???111?

???300??y1?y2?（2）X?X???120??，X?Y??y3???y?1?y3?，则，?0,?1,?2的最小二乘估计是??006????y1?2y2?y3???1?????3(y?1?y2?y3)?????0??????1??(X?X)?1X?Y??1??(?y1?y3?????2???2)?? ??1?6(y1?2y2?y3)????（3）若?2?0，此时模型成为： yi??0??1xi??ii?1,2,3，则对应的

?1?1?X????y?10???，X?X??30??，X?Y??1?y2?y3??11???02???y?y?，??0,?1的最小二乘估计是

13????????0????(X?X)?1X?Y??1?3(y1?y?2?y3)?????1????1

?2(?y1?y3)???

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