2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例 课时作业10 生活中的优化问题举例 新

课时作业10 生活中的优化问题举例

知识点一 面积、容积最大(小)问题

1.把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为( ) A．2 C．6 答案 D

解析 设其中一段长为x，则另一段长为16－x，则两个正方形面积之和为S(x)＝??＋

?4?

B．4 D．8

?x?2

?16－x?2(0

444????

＝8.当00.∴x＝8是函数S(x)的极小值点，也是最小值点．

∴当x＝8时，S(x)取最小值，S(x)最小＝S(8)＝8，即两个正方形面积之和的最小值是8，故选D.

知识点二 材料最省问题

2.圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径之比为( )

A．2∶1 C．1∶4 答案 A

解析 设其体积为V，高与底面半径分别为h，r，则V＝πrh，即h＝2.由题意，知

πr2

B．1∶2 D．4∶1

VV2V当表面积S最小时所用材料最省．S＝2πr2＋2πrh＝2πr2＋2πr·2＝2πr2＋.令S′＝

πrr32V4πr－2＝0，得r＝

V2π

3

，当r＝

V2π

r时，h＝

V?3

V?π?

?2π?

34V＝，则h∶r＝2∶1时，

π?2

所用材料最省．

知识点三 利润最大问题

3.某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．

答案 115

解析 利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x＋230x－6000，S′(x)＝－2x＋230，由

2

S′(x)＝0，得x＝115，这时利润达到最大．即每件商品的定价为115元时，利润最大．

4．某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销

A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln

(x＋b)(a>0，b>0)．已知投资额为零时收益为零．

(1)求a，b的值；

(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．

解 (1)由投资额为零时收益为零， 可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6ln b＝0， 解得a＝2，b＝1.

(2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln (x＋1)． 设投入经销B商品的资金为x万元(0

S′(x)＝－2，令S′(x)＝0，得x＝2.

x＋1

当00，函数S(x)单调递增； 当2

6

S(x)max＝S(2)＝6ln 3＋6≈12.6万元．

所以当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．

一、选择题

1．做一个容积为256升的方底无盖水箱，那么用料最省时，它的底面边长为( ) A．5分米 C．7分米 答案 D

B．6分米 D．8分米

256256256×422

解析 设底面边长为x分米，则高为h＝2，其表面积S＝x＋4·2·x＝x＋

xxx256×4

(x>0)，S′＝2x－，令S′＝0，则x＝8.当08时S′>0，故x＝82

x时S最小．

2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则x的取值为( )

A．0.0162 C．0.0243 答案 B

解析 依题意，得存款量是kx，银行支付的利息是kx，获得的贷款利息是0.0486kx，其中x∈(0,0.0486)．

所以银行的收益是y＝0.0486kx－kx(0

令y′＝0，得x＝0.0324或x＝0(舍去)． 当00； 当0.0324

所以当x＝0.0324时，y取得最大值，即当存款利率为0.0324时，银行获得最大收益． 3．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，1??400x－x2?0≤x≤400?，

2已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝?

??80000?x>400?，年生产的产品数是( )

A．100 C．200 答案 D

解析 设总成本为C，总利润为P， 由题意，总成本为C＝20000＋100x， 所以总利润为

B．150 D．300

2

2

3

2

3

2

B．0.0324 D．0.0486

则总利润最大时，每

x??300x－－20000，0≤x≤400，

2P＝R－C＝?

??60000－100x，x>400，

??300－x，0≤x≤400，

P′＝?

?－100，x>400，?

2

令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x>400时，P′<0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．

4．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边形折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )

A．6 cm C．10 cm 答案 B

解析 设四角截去的小正方形边长为x cm，则V＝(48－2x)x＝4x－4×48x＋48x(0

二、填空题

5．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10 km/h时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为________．

答案 20 km/h

解析 设轮船的速度为x km/h时，燃料费用为Q元，则Q＝kx(k≠0)． 3333

因为6＝k×10，所以k＝，所以Q＝x.

500500所以行驶每千米的费用总和为

3

2

2

2

2

2

3

2

B．8 cm D．12 cm

y＝?

?3x3＋96?·1＝3x2＋96(x＞0)．

?x500

x?500?

396

所以y′＝x－2.令y′＝0，解得x＝20.

250x因为当x∈(0,20)时，y′＜0，此时函数单调递减； 当x∈(20，＋∞)时，y′＞0，此时函数单调递增，

所以当x＝20时，y取得最小值，即此轮船以20 km/h的速度行驶时，每千米的费用总和最小．

6．要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3 m，长和宽的和为20 m，则仓库容积的最大值为________．

答案 300 m

解析 设仓库的容积为V m，长为x m，则宽为(20－x) m，V＝x(20－x)×3＝－3x＋60x(0

当00；当x>10时，V′<0， 所以当x＝10时，V取最大值，V最大＝300.

3

2

3