运27第3章习题

4 40000.000 60000.000 No Upper Limit 图3-19 Davison电力公司问题的管理科学家解释

20.Adirondack储蓄银行有100万美元的新资金可用于家庭贷款、个人信贷和汽车贷款。这3种贷款的年收益率分别是7%、12%和9%。该银行规划委员会决定至少要将这笔新贷款的40%用于家庭贷款。除此之外，规划委员会还强调分配给个人信贷的款额不能超过汽车贷款的60%。

a. 为了使年收益最大化，请构造一个线性规划模型用于决定ASB怎样将这笔新贷款项分配给不同类型的贷款？

b.每种贷款类型应分配多少款额？总的年收益是多少？平均年收益是多少？

c.如果家庭贷款的利率增加到9%，那么每种贷款类型的款额将会变化多少？加以解释。 d.如果这笔可用的资金额增加了10000美元，那么这个变化将会对年收益有什么影响？加以解释。

e.仍假设ASB有100万美元的可用资金，但规划委员会同意将分配到家庭贷款的款额比例由至少40%放松到至少39%，那么总的年收益将会变化多少？平均年收益率又将会怎样变化？

22.工业设计公司最近签了一份新合同，为湖光酿酒公司生产的新葡萄酒设计一个商标。公司估计完成这项工作需要150小时。现在公司可以调用3位图形设计人员：Lisa，高级设计师，设计组组长；David，高级设计师；Sarah,中级设计师。因为Lisa与湖光酿酒公司有过几次工作接触，所以公司要求分给Lisa的工作时间至少是其他两个设计师总共作时间的40%。为了提高Sarah的设计经验，公司要求他至少要承担总设计时间的15%，但是他的工作时间又不能超过其他两个高级设计师总工作时间的25%。由于还有其他的工作任务，Lisa最多可以工作50个小时。Lisa 、David 和Sarah的报酬分别是每小时30美元、25美元和18美元。

a. 建立一个数学模型，用来决定每个设计人员各应该分配多少时间才会使工作总成本最小。

b. 对模型求解，求出最优解和在此情况下的最小工作总成本。

c. 假设Lisa可工作时间多于50小时，那么对最优解会产生什么影响？为什么？ d.假设Sarah没有最低工作时间限制，对最优解会产生什么影响？为什么？

24.国家保险联合会对股票、证券等领域进行投资。现在有一笔200000美元的资金需要将其投资于股票市场。拟投资的股票以及相应的财务数据如下： 每股价格（美元） 年收益率 单位美元投资风险指数 股 票 A B C D 100 50 80 40 0.12 0.08 0.06 0.10 0.10 0.07 0.05 0.08

风险指数是衡量股票年预计年收益的相对不确定性的，数值越高，风险越大。风险指数是公司的高级财务顾问制定的。

国家保险联合会的高级管理层制定了以下的投资方针：总的年收益率至少为9%，任何一种股票投资人资金量都不可以超过总资金量的50%. a. 建立一个线性规划模型来确定风险最小的投资组合。

b. 如果公司忽略风险，以最大年收益率作为投资目标，那么应该如何投资？

c. (a)和(b)部分的投资组合在投资金额上相差多少美元?为什么公司可能会更偏好(a)部

分的选择？

26.Benson电子制造公司生产3种手机部件以及其他的通用器材。在最近的一段生产时间中，对这3重手机部件的需求可能会大于生产能力。在这种情况下，公司就必须以相对较高的价格购买其他公司的产品以满足需求。以下是公司买入单位产品的价格和制造单位产品的成本（单位：美元）：

来源 部件1 部件2 部件3

制造 4.50 5.00 2.75 购买 6.50 8.80 7.00

Benson公司3个部门的生产时间如下（单位：分钟）：

部门 部件1 部件2 部件3 生产 2 3 4 装配 1 1.5 3 检查与包装 1.5 2 5

例如，公司生产每个部件1需要2分钟，装配每个部件1需要1分钟，检查与包装每个部件需要1.5分钟。在下一个生产时段里，生产部有360小时的工作时间、250小时的装配时间和300小时的检查与包装时间。

a. 建立一个线性规划模型，以决定每个部件应该生产多少件，应该买入多少件，以使总生

产成本最小。假设公司必须生产6000件部件1、14000件部件2和3500件部件3。 b. 模型的最优解是什么？每种部件应该生产多少？买入多少？

c. 哪个部门限制了公司的产量？使用对偶价格分析每个部门增加1小时的工作时间会对最

优解产生什么影响。

d. 假设公司不得不多生产一件部件2。根据其对对偶价格讨论增加的这件部件2会使成本

增加多少？

28. Pfeiffer公司为其客户管理大约1500万美元的资金。对于每一位客户，公司都将其资金分给3 个方面投资：股票成长基金、收入基金和货币市场基金。不同客户有不同的投资目标和风险承受能力。为了应对这种情况，公司对风险承受指数不同的人规定了相应的投资限制。

我们现在来看一下公司的服务过程。丹尼尔·哈特曼是Pfeiffer公司的一个客户，公司首先计算出他的风险承受指数是0.05。为了使投资多元化，哈特曼的投资计划中至少包括10%的股票成长基金，10%的收益基金和20%的货币市场基金。 这3种基金的风险指数分别是0.10、0.05和0.01，而投资的风险指数是各项投资所占总投资的百分率与其风险指数乘积的代数和。哈特曼现在将300000美元交给Pfeiffer公司管理。公司预测，股票基金的收益率是20%，收益基金的收益率是10%，货币市场基金的收益率6%。 a. 建立线性规划模型，为哈特曼找出最佳的投资组合计划。 b. 对（a）中的模型求解。

c. 这3种基金的收益率至少得变化多少才能使哈特曼修改投资计划？

d. 如果哈特曼的风险承受能力更强，收益会增加多少？比如哈特曼的风险承受指数为

0.06。

e. 如果Pfeiffer公司将股票基金的收益率降为0.10，你认为哈特曼应该改变他的投资计划

吗？为什么？

f. Pfeiffer公司的理财过程中必须知道的一个客户信息是什么？

g. Pfeiffer公司每周都对基金的收益率进行重新评估。设想一下，假设Pfeiffer公司有50

位顾客，那么公司是如何定期修改客户的投资，重新分配投资基金的？

30.10频道的节目管理员希望确定出11：00~11：30晚间新闻节目的最佳安排。具体地说，他希望确定出本地新闻、国内新闻、天气预报和体育节目的时间分配。这30分钟的节目中广告占10分钟。电台要求，本地新闻的时间必须至少占15%；本地新闻和国内新闻的时间必须至少总时间的50%；天气预报的时间不应该大于体育节目的时间；天气预报每分钟100美元，体育节目每分钟100美元。

a. 建立线性规划模型，求出最小制作成本。

b. 解释总时间约束条件的对偶价格，并向台长提出你的建议。 c. 解释本地新闻时间必须至少占50%时间的约束条件的对偶价格，并向台长提出你的建议。 d. 解释本地新闻和国内新闻的总时间必须至少占50%时间的约束条件的对偶价格，并向台长提出你的建议。

e. 解释天气预报的时间不应该大于体育节目的时间约束条件的对偶价格，并向台长提出你的建议。

32.PhotoTech公司是一家为数码相机提供充电电池的制作商，它与一家数码摄影公司签订了一项合同，为一种新型的数码相机生产3种不同的锂电池组。合同要求如下：

电池组 生产量 PT-100 200000 PT-200 100000 PT-300 150000

PhotoTech能够在座落于菲律宾和墨西哥的工厂生产电池组。由于生产设备和工资率的不同，两个工厂生产的电池组的单位成本是不同的。每个制作工厂生产的每个电池组的单位成本如下所示：

产品

PT-100 PT-200 PT-300

工厂

菲律宾（美元） 墨西哥（美元）

0.95 0.98 0.98 1.06 1.34 1.15

在两家工厂里，PT-100和PT-200电池组是用相似的生产设备生产的，然而，每家工厂都对生产的PT-100和PT-200电池组有一个能力限制。PT-100和PT-200电池组的联合生产能力，在菲律宾工厂是175000，在墨西哥工厂是160000。PT-300电池组的生产能力，在菲律宾工厂是75000，在墨西哥工厂是100000。菲律宾工厂的装货成本是每单位0.18美元，墨西哥工厂的装货成本是每单位0.10美元。

a． 建立一个线性规划模型，PhotoTech 能用此确定在每个工厂生产电池组的数量，来最小

化与这个新签合同相关的生产和装货成本。

b． 求解（a）部分建立的线性规划，确定最优生产计划。

c． 为了在菲律宾工厂生产额外的PT-100电池组，运用灵敏度分析来确定每单位生产和/或

装货成本必须改变多少。

d． 为了在墨西哥工厂生产额外的PT-100电池组，运用灵敏度分析来确定每单位生产和/或

装货成本必须改变多少。

案例问题1 产品混合问题

TJ公司生产3种坚果什锦产品，分销遍布东南地区的食品连锁店。产品有3个品种，分别是普通型、高级型和假日型，不同品种的区别就是各种坚果的比例不同。 为了秋季的生产准备，TJ公司购入了一批坚果，价格和类别如下： 坚果类别 运量（磅） 运输费用（美元） 杏仁 6000 7500 巴西果 7500 7125 榛子 7500 6750 坚果类别 运量（磅） 运输费用（美元） 核桃 6000 7200 胡桃 7500 7875 普通型的产品含有15%的杏仁，25%的巴西果，25%的榛子，10%的核桃，25%的胡桃。高级型的产品各种坚果均含20%。假日型的产品含25%的杏仁，15%的巴西果，15%的榛子，25%的核桃，20%的胡桃。

TJ公司的会计对包装材料费用、售价等数值进行分析后预测，每磅普通型产品的利润是1.65美元，每磅高级型产品的利润是2美元，每磅假日型产品的利润是2.25美元。这些数值没有包括坚果的价格，因为它们的价格变化非常大。 客户的订单如下：

产品类型 订货量（磅） 普通型 10000 高级型 3000 假日型 5000

因为对产品的需求在不断增加，预计TJ公司将会获得大于其生产能力的订单。

TJ公司的目的在于合理安排坚果产品的类型，使公司的利润最大；公司不用的坚果都捐献给当地的慈善机构。还有，无论盈利与否，公司都将满足已经签署的订单。

管理报告

分析TJ公司的问题，并准备一个报告向TJ公司总经理简要介绍一下你的观点。报告的内容必须包含一下几个方面：

1. 普通型、高级型和假日型坚果产品的成本。 2. 最有生产组合的总利润。

3. 如果还可以购买一些坚果，分析如何才能使产品的利润增加。

4. 思考公司是否应该从一个供应商那里再以1000美元的价格购入1000磅的杏仁。 5. 如果TJ不必满足全部的已签订单，公司会增加的利润里。

案例问题2 投资战略

J.D.威廉姆斯公司是一个投资咨询公司，为大量的客户管理高达1.2亿美元的资金。公司运用一个很有价值的模型，为每个客户安排投资量，分别投资在股票增长基金、收入基金和货币市场基金。为了保证客户投资的多元化，公司对这三种投资的数额加以限制。一般来说，投资在股票方面的资金应该占总投资的20%~40%，投资在收入基金上的资金应该确保在20%~50%之间，货币市场方面的投资至少应该占30%。

此外，公司还尝试着引入了风险承受能力指数，以迎合不同投资者的需求。比如，威廉姆斯的一位新客户希望投资800000美元。对其风险承受力进行评估得出其风险指数为0.05。公司的风险分析人员计算出，股票市场的风险数是0.10，收入基金的风险指数是0.07，货币市场的风险指数是0.01。整个投资的风险指数是各项投资所占总投资的百分率与其风险指数乘积的代数和。

此外公司预测，股票基金的年收益率是18%，收入基金的收益率是12.5%，货币市场基金的收益率是7.5%。现在，基于以上的信息，公司应该如何安排这位客户的投资呢？建立线性规划模型，求出使总收益最大的解，并根据模型写出管理报告。

管理报告

1． 如果将800000美元投资于这三种基金。按照你的计划，投资的年收益是多少？ 2． 假设客户的风险承受指数提高到0.055，那么在投资计划更改后，收益将增加多少？ 3． 假设客户的风险承受指数不变，仍是0.05，儿股票的成长基金的年收益从16%下降到

14%，那么新的最佳投资方案是什么？

4． 假设现在客户认为投资在股票方面的基金太多了，如果增加一个约束条件即投资于股

票增长基金的资金不可以超过投资于收入基金的资金，那么新的最佳方案是什么? 5． 当遇到预期收益率变化时，你所建立的线性规划应该可以对客户的投资方案作出修

改，那么这个模型的适用范围是什么？

案例问题3 卡车租赁策略

Reep 建筑公司最近赢得了一份合同，为宾夕法尼亚的公路收费站修建一个服务区。公司负责区域道路和场地的建设。为了完成这项工作，公司的创始人兼总经理Bab Reep 估计，总工期大约需要4个月，从第1个月到第4个月需要的卡车数量分别是10、12、14、8辆。 现在公司已经有20辆卡车，但大部分都有任务，这些卡车是Bob从PennStata租赁公司来的。虽然有其他的任务，但Bob估计，第1个月有1辆卡车可以用于服务区的修建，第2个月有2辆，第三月有3辆，第4个月有1辆。因此为了完成任务，Reep公司还需要租借更多的卡车。

从PennState租赁公司长期租用卡车的费用是每辆卡车每月600美元。卡车司机的工资是每小时20美元，每辆卡车每天耗油100美元。所有的卡车维修费用由PeenState公司承担。根据工作计划，卡车每天工作8小时，每周工作5天，每月工作4周。

Bob认为现在的情况下长期租赁卡车是不明智的。在与PennState公司对短期租赁合同进行讨论后，PennState公司同意短期租赁卡车。但短期卡车租赁和司机工资的价格水平都与长期租赁不同。以下是一辆卡车一个司机的短期租赁费用。 租期期限 每月成本（美元） 1 4000 2 3700 租期期限 每月成本（美元） 3 3225 4 3040 Bob希望在卡车的要求得到满足的前提下，实现成本最小。此外，Reep公司从未解雇过一名员工，为此Bob Reep非常自豪。这次Bob仍然坚持他的不解雇政策，即使这样会增加成本。

管理报告

分析Reep建筑公司的卡车的租赁问题，并准备一个报告向Bob Reep简要介绍一下你的观点。报告必须包含一下内容：

1． 租赁的最优方案。 2． 最优方案的租赁成本。

3． 为了保持公司的不裁员政策，公司要多付出的资金。