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2016年北京市高考数学试卷(文科)(含解析)

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金榜教育

取x=0,得;

,PB所在直线方程为

取y=0,得∴|AN|=|BM|=1-∴=-=

=

. =

=

, .

∴四边形ABNM的面积为定值2. 20、答案:

试题分析:(1)求出f(x)的导数,求得切线的斜率和切点,进而得到所求切线的方程;

(2)由f(x)=0,可得-c=x3+4x2+4x,由g(x)=x3+4x2+4x,求得导数,单调区间和极值,由-c介于极值之间,解不等式即可得到所求范围;

(3)先证若f(x)有三个不同零点,令f(x)=0,可得单调区间有3个,求出导数,由导数的图象与x轴有两个不同的交点,运用判别式大于0,可得a2-3b>0;再由a=b=4,c=0,可得若a2-3b>0,不能推出f(x)有3个零点.

试题解析:(1)函数f(x)=x3+ax2+bx+c的导数为f′(x)=3x2+2ax+b, 可得y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为k=f′(0)=b, 切点为(0,c),可得切线的方程为y=bx+c; (2)设a=b=4,即有f(x)=x3+4x2+4x+c, 由f(x)=0,可得-c=x3+4x2+4x,

由g(x)=x3+4x2+4x的导数g′(x)=3x2+8x+4=(x+2)(3x+2), 当x>-或x<-2时,g′(x)>0,g(x)递增; 当-2<x<-时,g′(x)<0,g(x)递减. 即有g(x)在x=-2处取得极大值,且为0;

试卷 第13/14页

金榜教育

g(x)在x=-处取得极小值,且为-由函数f(x)有三个不同零点,可得-解得0<c<

);

<-c<0,

则c的取值范围是(0,

(3)证明:若f(x)有三个不同零点,令f(x)=0, 可得f(x)的图象与x轴有三个不同的交点. 即有f(x)有3个单调区间,

即为导数f′(x)=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点, 可得△>0,即4a2-12b>0,即为a2-3b>0;

若a2-3b>0,即有导数f′(x)=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点, 当c=0,a=b=4时,满足a2-3b>0,

即有f(x)=x(x+2)2,图象与x轴交于(0,0),(-2,0),则f(x)的零点为2个.

故a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.

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