[A组 夯基保分专练]
一、选择题
1．在等比数列{an}中，公比q＝2，前87项和S87＝140，则a3＋a6＋a9＋…＋a87等于( ) 140A. 3C．80
解析：选C.a3＋a6＋a9＋…＋a87＝a3
a1（1－q87）4×＝×140＝80.故选C.
71－q
??an＋2，n是奇数，
2．已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝?则数列{an}的前20项和为
?2a，n是偶数，?n
B．60 D．160
(1＋q3＋q6＋…＋q84)＝a
1
q2×
1－（q3）29q2
＝1－q31＋q＋q2
( )
A．1 121 C．1 123
B．1 122 D．1 124
解析：选C.由题意可知，数列{a2n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a2n－1}是首1×（1－210）10×9
项为1，公差为2的等差数列，故数列{an}的前20项和为＋10×1＋×2
21－2＝1 123.选C.
1??
3．已知数列{an}满足2a1＋22a2＋…＋2nan＝n(n∈N*)，数列?logaloga?的前n项和
?2n2n＋1?为Sn，则S1·S2·S3·…·S10＝( )
1A. 101C. 11
1B. 52D. 11
解析：选C.因为2a1＋22a2＋…＋2nan＝n(n∈N*)， 所以2a1＋22a2＋…＋2n1an－1＝n－1(n≥2)，
11
两式相减得2nan＝1(n≥2)，a1＝也满足上式，故an＝n，
22故
1111
＝＝－，
log2anlog2an＋1n（n＋1）nn＋1
－
111111n
Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，
223nn＋1n＋1n＋1
1239101
所以S1·S2·S3·…·S10＝×××…××＝，故选C.
234101111
4．(2020·太原模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn＋3)(n∈N*)在函数y＝3×2x
的图象上，等比数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是( )
A．Sn＝2Tn C．Tn>an
B．Tn＝2bn＋1 D．Tn 解析：选D.因为点(n，Sn＋3)(n∈N*)在函数y＝3×2x的图象上，所以Sn＝3·2n－3，所以an＝3·2n1，所以bn＋bn＋1＝3·2n1，因为数列{bn}为等比数列，设公比为q，则b1＋b1q＝3，b2＋b2q＝6，解得b1＝1，q＝2，所以bn＝2n1，Tn＝2n－1，所以Tn 111 5．已知数列{an}满足a1a2a3…an＝2(n∈N*)，且对任意n∈N*都有＋＋…＋＜t， a1a2an n2 － － － 则实数t的取值范围为( ) 1 A．(，＋∞) 32 C．(，＋∞) 3 1 B．[，＋∞) 32 D．[，＋∞) 3 2 2－－2a1a2a3…an2 n－ 解析：选D.依题意得，当n≥2时，an＝＝－2＝2 n(n1)＝22n1，又a1 a1a2a3…an－12(n1) ＝21＝22 ×1－1 11111－ ，因此an＝22n1，＝2n－1，数列{}是以为首项，为公比的等比数列，等 an2an24 11（1－n）2412122 比数列{}的前n项和等于＝(1－n)＜，因此实数t的取值范围是[，＋∞)， an13433 1－4故选D. 6．(2020·河北“五个一名校联盟”模拟)在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2，4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5，7，9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10，12，14，16；再染此后最邻近的5个连续奇数17，19，21，23，25.按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…则在这个红色子数列中，由1开始的第2 018个数是( ) A．3 971 C．3 973 B．3 972 D．3 974 解析：选B.由题意可知，第1组有1个数，第2组有2个数……根据等差数列的前n项和公式，可知前n组共有 n（n＋1）63×（63＋1） 个数．由于2 016＝<2 22 64×（64＋1） 018<＝2 080，因此，第2 018个数是第64组的第2个数．由于第1组最后 2一个数是1，第2组最后一个数是4，第3组最后一个数是9，……，第n组最后一个数是n2，因此，第63组最后一个数为632，632＝3 969，第64组为偶数组，其第1个数为3 970，第2个数为3 972.故选B. 二、填空题 7．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sn＋m(n，m∈N*)且a1＝5，则a8＝________． 解析：数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sn＋m(n，m∈N*)且a1＝5，令m＝1，则Sn＋ 1＝Sn＋S1＝Sn＋5，即 Sn＋1－Sn＝5，所以an＋1＝5，所以a8＝5. 答案：5 8．(2020·武汉调研)设等差数列{an}满足a3＋a7＝36，a4a6＝275，且anan＋1有最小值，则这个最小值为________． 解析：设等差数列{an}的公差为d，因为a3＋a7＝36，所以a4＋a6＝36， ?a4＝11，??a4＝25，?与a4a6＝275，联立，解得?或? ??a＝25a＝11，?6?6 ???a4＝11，?a1＝－10， ?当时，可得?此时an＝7n－17，a2＝－3，a3＝4，易知当n≤2时，?a6＝25?d＝7，?? an<0，当n≥3时，an>0，所以a2a3＝－12为anan＋1的最小值； ???a4＝25，?a1＝46，?当时，可得?此时an＝－7n＋53，a7＝4，a8＝－3，易知当n≤7时，?a6＝11?d＝－7，?? an>0，当n≥8时，an<0，所以a7a8＝－12为anan＋1的最小值． 综上，anan＋1的最小值为－12. 答案：－12 9．(2020·昆明调研)将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵： a1a2，a3a4，a5，a6…… 记数阵中的第1列数a1，a2，a4，…构成的数列为{bn}，Sn为数列{bn}的前n项和．若Sn＝2bn－1，则a56＝________． 解析：当n≥2时，因为Sn＝2bn－1，所以Sn－1＝2bn－1－1，所以bn＝2bn－2bn－1，所以bn＝2bn－1(n≥2且n∈N*)，因为b1＝2b1－1，所以b1＝1，所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，所以bn＝2n1. 设a1，a2，a4，a7，a11，…的下标1，2，4，7，11，…构成数列{cn}，则c2－c1＝1，c3 －c2＝2，c4－c3＝3，c5－c4＝4，…，cn－cn－1＝n－1，累加得，cn－c1＝1＋2＋3＋4＋…＋n（n－1）n（n－1）(n－1)，所以cn＝＋1，由cn＝＋1＝56，得n＝11，所以a56＝b11＝210 22＝1 024. － a7，a8，a9，a10 答案：1 024 三、解答题 10．(2020·高考天津卷)设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*)．已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6. (1)求Sn和Tn； (2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值． 解：(1)设等比数列{bn}的公比为q.由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0. 因为q>0，可得q＝2，故bn＝2n1. 1－2nn 所以，Tn＝＝2－1. 1－2 设等差数列{an}的公差为d.由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4. 由b5＝a4＋2a6， 可得3a1＋13d＝16， 从而a1＝1，d＝1，故an＝n. n（n＋1） 所以，Sn＝. 2(2)由(1)，有 T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn可得 n（n＋1）n＋1＋ ＋2－n－2＝n＋2n1， 2整理得n2－3n－4＝0， 解得n＝－1(舍)，或n＝4. 所以，n的值为4. 11．(2020·陕西教学质量检测(一))已知在递增的等差数列{an}中，a1＝2，a3是a1和a9 的等比中项． (1)求数列{an}的通项公式； 1 (2)若bn＝，S为数列{bn}的前n项和，求S100的值． （n＋1）ann解：(1)设公差为d(d>0)， 则an＝a1＋(n－1)d. 因为a3是a1和a9的等比中项， 所以a23＝a1a9， 即(2＋2d)2＝2(2＋8d)， 解得d＝0(舍去)或d＝2. 2×（1－2n）＋ －n＝2n1－n－2. 1－2 － 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n. 11111 (2)由(1)得bn＝＝＝?n－n＋1?， ?（n＋1）an2n（n＋1）2?1111111150 1－?＝. 所以S100＝b1＋b2＋…＋b100＝×(1－＋－＋…＋－)＝×?101?10122231001012?12．(2020·兰州模拟)已知等差数列{an}中，a2＝2，a3＋a5＝8，数列{bn}中，b1＝2，其前n项和Sn满足：bn＋1＝Sn＋2(n∈N*)． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； an (2)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn. bn解：(1)设{an}的公差为d， 因为a2＝2，a3＋a5＝8， 所以2＋d＋2＋3d＝8， 所以d＝1，所以an＝n. 因为bn＋1＝Sn＋2(n∈N*)，① 所以bn＝Sn－1＋2(n∈N*，n≥2)．② ①－②得，bn＋1－bn＝Sn－Sn－1＝bn(n∈N*，n≥2)， 所以bn＋1＝2bn(n∈N*，n≥2)． 因为b1＝2，b2＝2b1， 所以{bn}为等比数列，b1＝2，q＝2， 所以bn＝2n. ann (2)因为cn＝＝n， bn2 n－1n123 所以Tn＝＋2＋3＋…＋n－1＋n， 22222n－11123n Tn＝2＋3＋4＋…＋n＋n＋1， 222222 2＋n1111n 两式相减，得Tn＝＋2＋…＋n－n＋1＝1－n＋1， 222222n＋2 所以Tn＝2－n. 2 [B组 大题增分专练] 1．(2020·昆明模拟)数列{an}满足a1＝－1，an＋1＋2an＝3. (1)证明{an－1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式； 1，x>0，?? (2)已知符号函数sgn(x)＝?0，x＝0，设bn＝an·sgn(an)，求数列{bn}的前100项和． ??－1，x<0，
相关推荐：
loading