天津市天津南开中学等六校2020届高三数学上学期期初检测试题

天津市天津南开中学等六校2020届高三数学上学期期初检测试题

一、选择题（每题 5 分，共 45 分）

1. 设全集为 R ，集合 A=x R |0 x 2 ， B=则 A (CRB)

2. 命题“ x R ， 2x 2 3x ”的

7. 在ABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c 。已知

1

2 sin C ， cos B ，则cos2 A

ABC 的面积为3 ， 的值为

3sin A x N | x 1 ，

2 2 2

a 0 的左右焦点， P 是抛物线 y y 8. 已知 F ， F 分别为双曲线3x否定是

3. 已知a ln ， b lg125 ， ，则a, b, c 的大小关c 1

系是 0.3 4. 为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队,教练将二人最近6 次篮球比赛的得分数进行统计,甲乙两人的平均得分分别是

,则下列说法

正确的是

A. ,乙比甲稳定,应选乙参加比赛 B. ,甲比乙稳定,应选甲参加比赛C.

,甲比乙稳定,应选甲参加比赛

D.

,乙比甲稳定,应选乙参加比赛5. 已知直线m, n ，平面α ， n ，那么“ m // ”是“ m // n ”

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

6．函数 f (x)

Asin(ωx φ) ，

（其中 A 0, ω

0,| φ | π

）

2

的一部分图像如图所示，将函数上的每一点的纵坐标不变， 横坐标伸长为原来的2 倍，得到的图像表示的函数可以为

3a2

1 2

8ax 与

双曲线的一个交点，若| PF1 | | | 18 ，则抛物线的准线方程为 PF2

9. 定义在 R 上的函数 f (x) 满足： f (x) f (x) e2 x ， f ln 2 不等式 f (x) e2 x 的解集为

A. , ln 2 B. ,2

C. ln 2，

D. 2，

二、填空题（每题 5 分，共 30 分）

10. 二项式

5

2

x 3

的展开式的常数项是

11. i 是虚数单位，则

3 4i(1

i)

=

1 i 12．如图，在三棱柱的侧棱 A1 A 和 B1B 上各有一动点 P, Q 且满足 A1P

BQ ， 过 P, Q, C 三点的截面把棱柱分成两部分，则四棱锥C ABQP 与三棱柱 A1B1C1 ABC 的体积比为

13. 如图，在

ABC 中， D 是 BC 的中点， E 在边 AB 上， BE 2EA ， AD 与CE 交于点O 。若 AB AC 3AD EC ，则

AC

AB 设a 0 ， b 0 ，则

3a 2b 4 ，则

14. 的最小值是

15. 设 f

x, g x 是定义在 R 上的两个周期函数， f x

的周期为4 ， g x

的周期为2 ，且

f f xx 是奇函数，当=

x 0, 2

时， ， g k x 2,0 x 1 x = ，设函数

0.5 ,1 x 2

h x =f x g x ，若在区间 x 0,13

上，函数h x

有11个零点，则k 的取值范围是

三、解答题（共 75 分） 16. （本小题满分 13 分）

某大学宣传部组织了这样一个游戏项目：甲箱子里面有3 个红球， 2 个白球，乙箱子里面 有1个红球， 2 个白球，这些球除了颜色以外，完全相同。每次游戏需要从这两个箱子里面

各随机摸出两个球

（1）设在一次游戏中，摸出红球的个数为 X ，求 X 分布列

（2）若在一次游戏中，摸出的红球不少于2 个，则获奖。

①求一次游戏中，获奖的概率

②若每次游戏结束后，将球放回原来的箱子，设4 次游戏中获奖次数为Y ，求Y 的数学期望 E(Y )

17．（本小题满分 14 分）

如图，在三棱锥S ABC 中，平面 SBC 平面 ABC ， SB SC AB AC

2 ，

BC 2 , 若O 为 BC 的中点

（1）证明： SO 平面 ABC （2）求异面直线 AB 和 SC 所成角

（3）设线段SO 上有一点M ,当 AM 与平面 SAB 所成角的正弦值为 30 时，求OM 的长

15

18. （本小题满分 15 分）

已知数列an 的首项为1， Sn 为数列an 的前n 项和，若 Sn1 qSn 1 0 ，

其中q 0 ， n N *

（1）若a2 , a3,2 4a2 成等差数列，求an 的通项公式

（2）设双曲线 y 2 x2 1 的渐近线斜率的绝对值为b ，若b =3 ，求

n ib 1 2 n 2 i1 bi 1

n 1bi1 19. （本小题满分 16

分）

y2 x2

已知椭圆 1a b 0

的离，以椭圆的上焦点 F 为圆心，椭圆的短半a 2 b2 心率为2

轴为半径的圆与直线 x y 4 0 截得的弦长为2

（1）求椭圆的方程

（2）过椭圆左顶点做两条互相垂直的直线l1, l2 ，且分别交椭圆于M , N 两点（ M , N 不是椭圆的顶点），探究直线MN 是否过定点，若过定点则求出定点坐标，否则说明理由

20. （本小题满分 17 分）

已知函数 f x

ax ln 2x ，它在 x e 处的切线方程为 y 2x b 2

（1）求a, b 的值

（2）求函数 f x 在t, t 1 ， t 0 上的最小值

（3）若斜率为k 的直线与曲线 y

点

求证k 1 , 1 ，

f x 交于M

m, f m， N 17. (1)

n, f n， m n 两 (1分)

平面平面

(2分) 2020学年度第一平面平面 学期高三六校联(3分) 考数学期初检测平面

答案 (4分) 一、选择题 平面 (1). (2). (2) (3). (4). ，, (5). (6).

(7). (8). 如图，分别以为轴，(9). 轴，轴的非负半轴，建立二、填空题 空间直角坐标系 (10). (11). ，，， (5分) (12). (13). ， (14). (15). (6分) 三、解答题 (8分)

16. 异面直线和所成角为

(1)可以(9分)

为 (3) (1分) 设为平面的法向

量

(2分)

，即

(4分) (11分)

设，

(6分)

设与平面所成角

(7分) 为

(8分) (2)

①

（一

次游戏获奖） (10分) （舍）

② (13分)

(11分) 的长为

(14分)

(12分) 18. (1)

(13分)

(1分)

(3分)

为公比是的等比数列 (4分) 即

(8 分)

③时， 舍 (9 分)

恒综

过 上 (15分)

②若（3），，

斜率不存在

成等差数列

(5分)

（舍）

(7分) （2） (9分)

(10分). (13分).

(15分).

19. (1)， (1分) 设圆的方程为，圆心为，半径为 设为圆心到直线的距离

则， (3分)

(4分) 即

(6分)

椭圆的方程为 (7分)

(2)设的方程为，的方程为 联立，可得

整理，设，不是椭圆的顶点 ，

带入，得

(10分) 联立，设， ，

带入，得

(12分)①若斜率存在

(13分) 的(11分)

方程为，的方程为 ，，此时，亦过 设 (16分) 综上，直线恒过 20. 单调递减（1） (2分) (14分)

即 (3分) 设

即 (4分) 单调递增（2） 令 (17分) (6分) ①上，即

时，在单调递

增

(7分)

②

时，即时

在

单调递减，单调递增

令，

，

，

即在

即

令，， ，

即在

即

综