专题2三角函数与平面向量

专题2 三角函数与平面向量

计算题

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝(Ⅰ)求sin B的值；

(Ⅱ)若c－a＝5－10，求△ABC的面积．

?π?12．设函数f(x)＝3sin x cos x－cos x sin?＋x?－．

?2?253?，sin A＝．

54(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；

(Ⅱ)当x∈?0，?时，求函数f(x)的最大值和最小值．

2??π??3．已知函数f(x)＝sin(? x＋?)(?＞0，|? |＜?)的图象如图所示.

(Ⅰ)求?，??的值；

π??(Ⅱ)设g(x)＝f(x)f ?x－?，求函数g(x)

4??y1Oπ4π2x-1的单调递增区间.

(第3题) 1?． 4．已知函数f(x)=asin x＋bcos x的图象经过点?，0?和?，(Ⅰ)求实数a，b的值；

(Ⅱ)若x∈?0，?，求函数f(x)的最大值及此时x的值．

2?π?6???π?3????π??5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足sin的面积为2．

(Ⅰ)求bc的值；

(Ⅱ)若b＋c＝6，求a的值． 6．已知向量m＝(cos

5A＝，且△ABC

52xxxx，3cos)，n＝(sin，cos)，函数f(x)=m?n． 3333(Ⅰ)求f(x)的解析式； (Ⅱ)求f(x)的单调递增区间；

(Ⅲ)如果△ABC的三边a、b、c满足b2＝ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此

时函数f(x)的值域．

7．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，向量m＝(sin B，1－cos B)与向量n＝ (2，0)夹角的余弦值为

1． 2(Ⅰ) 求角B的大小；

(Ⅱ) 求sin A＋sin C的取值范围．

8．已知x∈R，向量OA＝(acos2 x，1)，OB＝(2，3a sin 2x－a)，f(x)＝OA·OB，a≠0．

(Ⅰ)求函数f(x)解析式，并求当a＞0时，f(x)的单调递增区间； (Ⅱ)当x∈?0，?时，f(x)的最大值为5，求a的值．

2??π??

参考答案

计算题

1．解：(Ⅰ)∵ C＝

53?，sin A＝，

5425． 5∴ cos A＝1-sin2A＝由已知得B＝

π－A． 4ππ?π?∴ sin B＝sin??A?＝sincos A－cossin A

44?4?＝

1022525·－·＝．

52521023π5，C＝，∴ sin C＝． 524(Ⅱ)∵ sin A＝由正弦定理得

10asinA＝＝．

5csinC又∵ c－a＝5－10， ∴ c＝5，a＝10． 由(Ⅰ)知 sin B＝∴ S△ABC＝

10． 1010·5·

11ac sin B＝22105＝． 10231?π?12．解：(Ⅰ)f(x)＝3sin x cos x－cos x sin?＋x?－＝·2 sin x cos x－cos2 x－

22?2?2＝

π?31?sin 2x―cos 2x―1＝sin?2x－?－1．

6?22?T＝

2π＝?，故f(x)的最小正周期为 ?． 2π， 2(Ⅱ)∵ 0≤x≤∴ －

ππ5π≤2x－≤． 666πππ＝，即x＝时，f(x)有最大值0， 623当2x－当2x－

ππ3＝－，即x＝0时，f(x)有最小值－． 6622π?ππ?3．解：(Ⅰ) 由图可知T＝4?－?＝?，?＝＝2．

T?24?又f(0)＝－1，得 sin ?＝－1，

π． 2π??(Ⅱ) 由(Ⅰ)知f(x)＝sin?2x－?＝－cos 2x．

2??∵ |? |＜? ∴ ?＝－

?π??1?－cos?2x－??＝cos 2x sin 2x＝sin 4x， ∵ g(x)＝(－cos 2x)?2??2??∴ 当2k?－

ππkππkππ≤4x≤2k?＋，即－≤x≤＋(k∈Z)时，g(x)递增． 228822故函数g(x)的单调增区间为??kππkππ?－， ＋? (k∈Z)． 2828???π?6???π?3??4．解：(Ⅰ)∵ 函数f(x)＝asin x＋bcos x的图象经过点?，0?和?，1?，

13a＋b?0?22∴ ?

1?3a＋b?122解得a＝3，b＝－1．

π??(Ⅱ) 由(Ⅰ)知f(x)＝3sin x－cos x＝2sin?x－?．

6???ππ??π?π－，?． ∵ x∈?0，?，∴ x－∈?6263????∴ 当x－

πππ＝，即x＝时，f(x)取得最大值3． 6325A＝，0＜A＜?，

525．解：(Ⅰ)∵ sin∴ cos

25A＝．

524AA∴ sin A＝2sincos＝．

225∵ S△ABC＝

1bc sin A＝2， 2∴ bc＝5．

5A＝，

52A3∴ cos A＝1－2sin2＝．

52(Ⅱ) ∵ sin

∵ bc＝5，b＋c＝6，

∴ a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)＝20， ∴ a＝25．

6．解：(Ⅰ) f(x)＝cos

xxxsin＋3cos2 333＝

33312x2x?2xπ?sin＋cos＋＝sin?＋?＋．

3?222233?3(Ⅱ) 由2k?－

ππ2xπ5ππ≤＋≤2k?＋得3k?－≤x≤3k?＋． 224433∴ f(x)的单调增区间为?3kπ－??5ππ?， 3kπ＋?(k∈Z)． 44?a2＋c2?b2a2＋c2?acac1(Ⅲ) cos x＝＝≥＝．

2ac2ac2ac2∵ x是△ABC的内角，

2x?π?π?π5π?∴ x∈?0，?． ∴＋∈?，?．

3?39?33??∴

?3?3?2xπ?＜sin?＋?≤1． ∴ f(x)的值域是?3， 1＋?． ?2322????7．解：(Ⅰ)∵ m＝(sin B，1－cos B)，n＝(2，0)， cos ＝∴

m· n1＝，

|m·||n|22sinB1＝， 222?2cosB即2cos2 B－cos B－1＝0． 解得cos B＝－∵ 0＜B＜?， ∴ B＝

1或cos B＝1(舍)． 22π． 3π， 3?π?∴ sin A＋sin C＝sin A＋sin??A?

?3?(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知A＋C＝

＝

31sin A＋cos A

22