例5 2009年临沂市中考第26题
如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点． （1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．
,
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，△PAM的形状在变化，分别双击按钮“P在B左侧”、“ P在x轴上方”和“P在A右侧”，可以显示△PAM与△OAC相似的三个情景．
双击按钮“第(3)题”， 拖动点D在x轴上方的抛物线上运动，观察△DCA的形状和面积随D变化的图象，可以体验到，E是AC的中点时，△DCA的面积最大．
思路点拨
1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便． 2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．
4．把△DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA．
满分解答
（1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为
1y?a(x?1)(x?4)，代入点C的 坐标（0，－2），解得a??．所以抛物线的解析式为
2115y??(x?1)(x?4)??x2?x?2．
2221（2）设点P的坐标为(x,?(x?1)(x?4))．
21①如图2，当点P在x轴上方时，1＜x＜4，PM??(x?1)(x?4)，AM?4?x．
21?(x?1)(x?4)AMAO??2，那么2如果?2．解得x?5不合题意． PMCO4?x1?(x?1)(x?4)AMAO11??，那么2如果?．解得x?2． PMCO24?x2此时点P的坐标为（2，1）．
②如图3，当点P在点A的右侧时，x＞4，PM?1(x?1)(x?4)，AM?x?4． 21(x?1)(x?4)2解方程?2，得x?5．此时点P的坐标为(5,?2)．
x?41(x?1)(x?4)12解方程?，得x?2不合题意．
x?421③如图4，当点P在点B的左侧时，x＜1，PM?(x?1)(x?4)，AM?4?x．
21(x?1)(x?4)解方程2?2，得x??3．此时点P的坐标为(?3,?14)．
4?x1(x?1)(x?4)1解方程2?，得x?0．此时点P与点O重合，不合题意．
4?x2综上所述，符合条件的 点P的坐标为（2，1）或(?3,?14)或(5,?2)．
图2 图3 图4 （3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为y?设点D的横坐标为m(1?m?4)，那么点D的坐标为(m,?1x?2． 2125m?m?2)，点E的221125112坐标为(m,m?2)．所以DE?(?m?m?2)?(m?2)??m?2m．
2222211222因此S?DAC?(?m?2m)?4??m?4m??(m?2)?4．
22当m?2时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．
图5 图6
考点伸展
第（3）题也可以这样解：
如图6，过D点构造矩形OAMN，那么△DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去△CDN和△ADM的面积．
设点D的横坐标为（m，n）(1?m?4)，那么
111(2n?2)?4?m(n?2)?n(4?m)??m?2n?4． 2221252由于n??m?m?2，所以S??m?4m．
22S?
例6 2008年苏州市中考第29题
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“08苏州29”，拖动表示a的点在y轴上运动，可以体验到，当抛物线经过点E1和E3时，直线NE1、NE3和直线AB交于同一个点G，此时△POB∽△PGN．当抛物线经过点E2和E4时，直线NE2、NE4和直线AB交于同一个点G，可以体验到，这个点G在点N右侧较远处．
思路点拨
1．求等腰直角三角形OAB斜边上的高OH，解直角三角形POH求k、b的值．
2．以DN为边画正方形及对角线，可以体验到，正方形的顶点和对角线的交点中，有符合题意的点E，写出点E的坐标，代入抛物线的解析式就可以求出a．
3．当E在x轴上方时，∠GNP＝45°，△POB∽△PGN，把PB?PG转化为PO?PN?14．
4．当E在x轴下方时，通过估算得到PB?PG大于102．
满分解答
323，b?． 33（2）由抛物线的解析式y?a(x?1)(x?5)，得 点M的坐标为(?1,0)，点N的坐标为(5,0)．
（1）OH?1，k?因此MN的中点D的坐标为（2，0），DN＝3．
因为△AOB是等腰直角三角形，如果△DNE与△AOB相似，那么△DNE也是等腰直角三角形．
①如图2，如果DN为直角边，那么点E的坐标为E1（2，3）或E2（2，－3）．
将E1（2，3）代入y?a(x?1)(x?5)，求得a??．
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