图3 图4 图5
例3 2012年临沂市中考第26题
如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置． （1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12临沂26”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，⊙O和⊙B以及OB的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点P运动到⊙O与对称轴的另一个交点时，B、O、P三点共线．
请打开超级画板文件名“12临沂26”，拖动点P，发现存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形
思路点拨
1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．
2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起．
满分解答
（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．
在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，OC?23． 所以点B的坐标为(?2,?23)．
（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)， 代入点B(?2,?23)，?23??2a?(?6)．解得a??3． 633223所以抛物线的解析式为y??x(x?4)??x?x．
663（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)．
①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得y??23．
当P在(2,23)时，B、O、P三点共线（如图2）．
②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以42?(y?23)2?16．解得y1?y2??23． ③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以42?(y?23)2?22?y2．解得y??23． 综合①、②、③，点P的坐标为(2,?23)，如图2所示．
图2 图3
考点伸展
如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形．
332323，得抛物线的顶点为D(2,x(x?4)??(x?2)2?)．
663323因此tan?DOA?．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°．
3由y??
例4 2011年盐城市中考第28题
如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数y?4x的图象交于点A，且与x轴交于3点B．
（1）求点A和点B的坐标； （2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由B向O运动，从图象中可以看到，△APR的面积有一个时刻等于8．观察△APQ，可以体验到，P在OC上时，只存在AP＝AQ的情况；P在CA上时，有三个时刻，△APQ是等腰三角形．
思路点拨
1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．
2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．
3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况．
满分解答
?y??x?7,?x?3, 所以点A的坐标是(3，4)．
（1）解方程组? 得?4?y?x,?y?4.?3?令y??x?7?0，得x?7．所以点B的坐标是(7，0)．
（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由S△APR?S梯形CORA?S△，ACP?SP△OR?8111得（3+7?t)?4??4?(4?t)??t(7?t)?8．整理，得t2?8t?12?0．解得t＝2或t＝6222（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．
因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．
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