图2 图3 图4
②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4． 如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，AB?42，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．
如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．
因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况． 此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1． 我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．
35520在△APQ中， cos?A?为定值，AP?7?t，AQ?OA?OQ?OA?OR?t?．
533352041如图5，当AP＝AQ时，解方程7?t?t?，得t?．
338如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程7?t?2[(7?t)?(t?4)]，得t?5．
1AQ2如7，当PA＝PQ时，那么cos?A?．因此AQ?2AP．解方程?cos?AAP5203226． t??2(7?t)?，得t?3354341226综上所述，t＝1或或5或时，△APQ是等腰三角形．
843
图5 图6 图7
考点伸展
当P在CA上，QP＝QA时，也可以用AP?2AQ?cos?A来求解．
例5 2010年南通市中考第27题
如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
12（3）若y?，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
m图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10南通27”，拖动点E在BC上运动，观察y随x变化的函数图象，可以体验到，y是x的二次函数，抛物线的开口向下．对照图形和图象，可以看到，当E是BC的中点时，y取得最大值．双击按钮“m＝8”，拖动E到BC的中点，可以体验到，点F是AB的四等分点．
拖动点A可以改变m的值，再拖动图象中标签为“y随x” 的点到射线y＝x上，从图形中可以看到，此时△DCE≌△EBF．
思路点拨
1．证明△DCE∽△EBF，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式．
2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．
3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF为等腰三角形，那么得到x＝y；一段是计算，化简消去m，得到关于x的一元二次方程，解出x的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m的值．
满分解答
(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因为∠C＝∠B＝90°，所以△DCE∽△EBF．因此系为y??DCEBm8?x?，即?．整理，得y关于x的函数关CEBFxy128x?x． mm121x?x??(x?4)2?2．因此当x＝4时，y取得最大88(2)如图2，当m＝8时，y??值为2．
1218122??x2?x．，那么整理，得x?8x?12?0．解得x＝2或x＝6．要
mmmm使△DEF为等腰三角形，只存在ED＝EF的情况．因为△DCE∽△EBF，所以CE＝BF，即
1212x＝y．将x＝y ＝2代入y?，得m＝6（如图3）；将x＝y ＝6代入y?，得m＝2（如
mm图4）．
(3) 若y?
图2 图3 图4
考点伸展
本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如： 由第（1）题得到y??1281116x?x??(x2?8x)??(x?4)2?， mmmmm那么不论m为何值，当x＝4时，y都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB边为多
长，当E是BC的中点时，BF都取得最大值．第（2）题m＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．
再如，不论m为小于8的任何值，△DEF都可以成为等腰三角形，这是因为方程
x??
128x?x总有一个根x?8?m的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性． mm
例 6 2009年江西省中考第25题
如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°．
（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于M，过M作MN//AB交折线ADC于N，连结PN，设EP＝x．
①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．
图1 图2 图3
动感体验
请打开几何画板文件名“09江西25”，拖动点P在EF上运动，可以体验到，当N在AD上时，△PMN的形状不发生改变，四边形EGMP是矩形，四边形BMQE、四边形ABMN是平行四边形，PH与NM互相平分．
当N在DC上时，△PMN的形状发生变化，但是△CMN恒为等边三角形，分别双击按钮“PM＝PN”、“MP＝MN”和“NP＝NM”，可以显示△PMN为等腰三角形．
思路点拨
1．先解读这个题目的背景图，等腰梯形ABCD的中位线EF＝4，这是x的变化范围．平行线间的距离处处相等，AD与EF、EF与BC间的距离相等．
2．当点N在线段AD上时，△PMN中PM和MN的长保持不变是显然的，求证PN的长是关键．图形中包含了许多的对边平行且相等，理顺线条的关系很重要．
3．分三种情况讨论等腰三角形PMN，三种情况各具特殊性，灵活运用几何性质解题．
满分解答
（1）如图4，过点E作EG⊥BC于G．
1AB?2，∠B＝60°， 2所以BG?BE?cos60??1，EG?BE?sin60??3．
在Rt△BEG中，BE?所以点E到BC的距离为3．
（2）因为AD//EF//BC，E是AB的中点，所以F是DC的中点． 因此EF是梯形ABCD的中位线，EF＝4．
①如图4，当点N在线段AD上时，△PMN的形状不是否发生改变． 过点N作NH⊥EF于H，设PH与NM交于点Q．
在矩形EGMP中，EP＝GM＝x，PM＝EG＝3． 在平行四边形BMQE中，BM＝EQ＝1＋x． 所以BG＝PQ＝1．
因为PM与NH平行且相等，所以PH与NM互相平分，PH＝2PQ＝2． 在Rt△PNH中，NH＝3，PH＝2，所以PN＝7．
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