人教版高中数学必修五
2.4 等比数列（二）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.如果数列?an?是等比数列，那么( )
2}是等比数列 B.数列?2an?是等比数列 A.数列{anC.数列?lg an?是等比数列 D.数列?nan?是等比数列 2.在等比数列?an?中，a4＋a5＝10，a6＋a7＝20，则a8＋a9=( ) A.90 B.30 C.70 D.40
3.已知等比数列?an?的各项为正数，且3是a5和a6的等比中项，则a1a2La10＝( ) A.39 B.310 C.311 D.312
2a94.在等比数列?an?中，若a3a5a7a9a11＝243，则的值为( )
a11A.9 B.1 C.2 D.3
5.已知在等比数列?an?中，有a3a11＝4a7，数列?bn?是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9=( ) A.2 B.4 C.8 D.16
a6.在等比数列?an?中，an?an＋1，且a7a11＝6，a4＋a14＝5，则6=( )
a16321
A. B. C. D.6 236
1a?a7.已知在等比数列?an?中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则910＝( )
2a7?a8A.1＋2 B.1－2 C.3＋22 D.3－22
8.已知公差不为零的等差数列的第k,则等比数列的公比为( ) n,p项构成等比数列的连续三项，A.
n?pn?pn?kk?p B. C. D. k?np?kn?pn?p10x＋ 16＝9.已知在等比数列?an?中，a5,a95为方程x2＋0的两根，则a20a50a80的值为( )
A.256 B.±256 C.64 D.±64
1a?a9Q10.已知等比数列?an?的各项均为正数，公比q≠1，设P＝(log0.5a5＋log0.5a7)，＝log0.53，
22则P与Q的大小关系是( )
A.P≥Q B.P＜Q C.P≤Q D.P＞Q二、填空题（每小题4分，共16分）
1
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11.等比数列?an?中，an?0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5= ． 1a?a?a?a712.已知等比数列?an?的公比q＝－，则135= ．
3a?a?a?a246813.在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，此未知数是 ．
14.一种专门占据内存的计算机病毒的大小为2 KB，它每3 s自身复制一次，复制后所占内存是原来的两倍，则内存为64 MB(1 MB＝210 KB)的计算机开机后经过 s，内存被占完． 三、解答题（共54分）
?11??11?15.(8分)已知?an?是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2???，a3＋a4＝32???．求
aaaa?12?4??3?an?的通项公式.
16.（8分）在等比数列?an?中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，求a10.
17.（9分）在等差数列?an?中，a4＝10，且a3,a6,a10成等比数列，求数列?an?前20项的和S20.
18.（9分）设正整数数列?an?为一个等比数列，且a2＝4，a4＝16，求lg an＋1＋lg an＋2＋L＋lg a2n.
19.（10分）已知a1＝2，点(an,an＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，其中n＝1,2,3，…. (1)证明数列{lg(1＋an)}是等比数列； (2)求?an?的通项公式．
20.（10分）容积为a L(a?1)的容器盛满酒精后倒出1 L，然后加满水，混合溶液后再倒出1 L，又用水加满，如此继续下去，问第n次操作后溶液的浓度是多少？若a＝2，至少应倒出几次后才可以使酒精浓度低于10%？
2
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参考答案
一、选择题
2?an?1?2an?1anbn?12?11.A 解析：设bn＝a，则＝2＝?∴ ?bn?为等比数列；an?2an?1?an≠常数； ?＝q，
anbn2?an?22n当an?0时，lg an无意义；设cn＝nan，则2.D 解析：∵ q2＝
(n?1)an?1cn?1n?1＝＝?q≠常数．
nancnna6?a7＝2，∴ a8＋a9＝(a6＋a7)q2＝20q2＝40. a4?a53.B 解析：由题意得a5a6＝9，∴ a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6＝9，∴ a1a2La10＝95＝310.
2a12q165a96aq4.D 解析：∵ a3a5a7a9a11＝aq＝243，∴ ＝＝＝243＝3. 1a11a1q1053012＝4a7，又a7≠0，∴ a7＝4，∴ b7＝4.∵ 数列?bn?为等差数列，∴ 5.C 解析：∵ a3a11＝a7b5＋b9＝2b7＝8.
?a7a11?a4a14?6,?a4?3,?a4?2,6.A 解析：由题意得?解得?或?
?a14?2?a14?3.?a4?a14?5,又∵ an?an＋1，∴ a4＝3，a14＝2.∴
a6a43??. a16a14217.C 解析：设等比数列?an?的公比为q，∵ a1，a3，2a2成等差数列，∴ a3＝a1＋2a2，∴
2a1q2＝a1＋2a1q，
∴ q2－2q－1＝0，∴ q＝1±2.∵ 各项都是正数，∴ q?0，∴ q＝1＋2， ∴
a9?a10＝q2＝(1＋2)2＝3＋22. a7?a88.A 解析：设等差数列的首项为a1，公差为d， 则q?anapap?an?a1?(p?1)d???a1?(n?1)d?p?nn?p????=. akanan?ak?a1?(n?1)d???a1?(k?1)d?n?kk?n9.D 解析：由根与系数的关系，得a5a95＝16，由等比中项可得a5a95＝(a50)2＝16，故a50＝±4， 则a20a50a80＝(a50)3＝(±4)3＝±64.
10.D 解析：P＝log0.5a5a7＝log0.5a3a9，Q＝log0.5∵ q?1，∴ a3?a9，∴
a3?a9＞a3a9. 2a3?a9. 2又∵ y＝log0.5x在(0，＋∞)上单调递减，
3
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∴ log0.5a3?a9＜log0.5a3a9，即Q?P.故选D. 2二、填空题
11.27 解析：由题意，得a1＋a2＝1，a3＋a4＝(a1＋a2)q2＝9，∴ q2＝9. 又an?0，∴ q＝3.故a4＋a5＝(a3＋a4)q＝9?3＝27. 12.－3 解析：
a1?a3?a5?a7a1?a3?a5?a71＝＝＝－3.
a2?a4?a6?a8a1q?a3q?a5q?a7qq?2a?3?b,?a?3,?a?15,13.3或27 解析：设三数分别为3,a,b，则?解得或? ?2?b?3?b?27.?(a?6)?3b.∴ 这个未知数为3或27.
14.45 解析：设计算机病毒每次复制后的大小组成等比数列?an?，且a1＝2×2＝4，q＝2，则an＝4·210，得n＝15，即复制15次，共用45 s. 2n－1.令4·2n?1＝64×三、解答题
15.解：设等比数列?an?的公比为q，则an＝a1qn－1.
?1?11?1?23?由已知得a1＋a1q＝2???． ?，a1q＋a1q＝32?2a1q3??a1q?a1a1q?22???a1q(q?1)?2(q?1),?a1q?2,化简，得?25即?25
aq(q?1)?32(q?1),aq?32.???1?1?a?1,又∵ a1?0，q?0，∴ ?1∴ an＝2n－1.
?q?2.?a3?a8?124,?a3??4,?a3?128,16.解：∵ a3a8＝a4a7＝－512，联立 ?解得?或?
aa??512.a??4.a?128?38?8?8又公比为整数，∴ a3＝－4，a8＝128，q＝－2.
(4)?(－2)7＝512. ∴ a10＝a3q7＝－17.解：设数列?an?的公差为d，则a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，a10＝a4＋6d＝10＋6d.
2由a3,a6,a10成等比数列，得a3a10＝a6，即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2.
整理，得10d2－10d＝0.解得d＝0或d＝1. 当d＝0时，S20＝20a4＝200； 当d＝1时，a1＝a4－3d＝10－3?1＝7， 20×19于是S20＝20a1＋＝20×7＋190＝330.
2d18.解：由a2＝4，a4＝16，得a1＝2，q＝2，∴ an＝2n. ∴ lg?an＋1＋lg?an＋2＋L＋lg?a2n＝lg(an＋1an＋2La2n)＝lg 2(n＋1)＋(n＋2)＋L＋2n＝lg 23n2?n23n2?n＝lg 2.
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