（2）因为bn=所以Tn=+…Tn=
+…+
++
=（n≥2） ①
②…..（8分）
①﹣②得Tn=1++…+﹣=﹣，
所以数列{bn}的前n项和Tn=3﹣．…..（12分）
20．（12分）已知命题p：函数f（x）=lg（x2﹣2x+a）的定义域为R，命题q：对于x∈[1，3]，不等式ax2﹣ax﹣6+a＜0恒成立，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
【分析】若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，进而得到答案． 【解答】解：当P真时，f（x）=lg（x2﹣2x+a）的定义域为R， 有△=4﹣4a＜0， 解得a＞1．…..（2分）
当q真时，即使g（x）=ax2﹣ax﹣6+a在x∈[1，3]上恒成立， 则有a＜
在x∈[1，3]上恒成立，
=
≥，
而当x∈[1，3]时，
故a＜．…..（5分）
又因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p，q一真一假，…..（6分） 当p真q假时，a＞1．…..（8分） 当p假q真时，a＜…..（10分）
所以实数a的取值范围是（﹣∞，）∪（1，+∞）…..（12分）
21．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面为边长为1的正方形，侧棱AA1=2
（1）求直线DC与平面ADB1所成角的大小；
（2）在棱上AA1是否存在一点P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，若存在，确定P的位置，若不存在，说明理由．
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【分析】（1）以点D为坐标原点O，DA，DC，DA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DC与平面ADB1所成角的大小． （2）假设存在点P（a，b，c），使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，利用向量法能求出棱AA1上存在一点P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，且AP=2PA1．
【解答】解：（1）∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面为边长为1的正方形，侧棱AA1=2，
∴以点D为坐标原点O，DA，DC，DA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，…..（2分）
D（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，1，
，
=（0，1，
），，
，1），…..（4分） ），C（0，1，0），
=（0，1，0），
设平面ADB1的法向量为则
，取z=1，得=（0，﹣
设直线DC与平面所ADB1成角为θ， 则sinθ=|cos＜∵θ∈[0，
＞|=
，
．…..（6分） =
，
]，∴θ=
∴直线DC与平面ADB1所成角的大小为
（2）假设存在点P（a，b，c），使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°， 设
=
，由A1（0，0，
），得（a﹣1，b，c）=λ（﹣a，﹣b，
），
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∴，解得，
B1（0，1，﹣
），C1（﹣1，1，
），=（﹣1，0，0），=（，﹣1，
），
设平面的法向量为=（x，y，z），
则，取z=1，得=（0，﹣，1），…．（9分）
由（1）知，平面AB1C1D的法向量为=（0，﹣∵二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°， ∴cos30°=
=
=
．
，1），
由λ＞0，解得λ=2，
所以棱AA1上存在一点P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，且AP=2PA1．
22．（12分）在圆x2+y2=3上任取一动点P，过P作x轴的垂线PD，D为垂足，=动点M的轨迹为曲线C． （1）求C的方程及其离心率；
（2）若直线l交曲线C交于A，B两点，且坐标原点到直线l的距离为
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，求△
AOB面积的最大值． 【分析】（1）由
=
得x0=x，y0=
y，即可得到椭圆的方程及其离心率；
，故求△AOB面积的最大值的问
（2）由于已知坐标原点O到直线l的距离为
题转化为求线段AB的最大值的问题，由弦长公式将其表示出来，再判断最值即可得到线段AB的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），P（x0，y0），由（2分）
因为x02+y02=3，所以x2+3y2=3，即其离心率e=
．…..（4分）
．（5分）
=1，
=
得x0=x，y0=
y …..
（Ⅱ）当AB与x轴垂直时，|AB|=②当AB与x轴不垂直时，
设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）， 由已知
，得
．（6分）
把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0， ∴x1+x2=
，x1x2=
（7分）
≤4，
∴k≠0，|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=3+
当且仅当9k2=
，即k=时等号成立，此时|AB|=2．（10分）
当k=0时，|AB|=．（11分）
综上所述：|AB|max=2， 此时△AOB面积取最大值
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