高一数学直线方程知识点归纳及典型例题

即y??3?223?221x?2?22，或y?x?2?22 x?2，或y?222类型三：直线方程的实际应用

例6．（2015春 湖北期末）光线从点A（2，3）射出，若镜面的位置在直线l：x+y+1=0上，反射光线经过B（1，1），求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从A到B所走过的路线长．

【思路点拨】求出点A关于l的对称点，就可以求出反射光线的方程，进一步求得入射点的坐标，从而可求入射光线方程，可求光线从A到B所走过的路线长．

【答案】41

【解析】设点A关于l的对称点A＇（x0，y0），

?x0?2y0?3??1?0??x0??42?2∵AA＇被l垂直平分，∴?，解得?

y?3y??3?0?0?1??x0?2∵点A＇（―4，―3），B（1，1）在反射光线所在直线上， ∴反射光线的方程为

y?3x?4，即4x―5y+1=0， ?1?31?4?4x?5y?1?021解方程组?得入射点的坐标为(?,?)．

33?x?y?1?012x?3?3，即5x―4y+2=0， 由入射点及点A的坐标得入射光线方程为

123?2?33y?光线从A到B所走过的路线长为|A'B|?(?4?1)?(?3?1)?41．

【总结升华】本题重点考查点关于直线的对称问题，考查入射光线和反射光线，解题的关键是利用对

称点的连结被对称轴垂直平分．

举一反三： 【变式1】（2016春 福建厦门期中）一条光线从点A（－4，－2）射出，到直线y=x上的B点后被直线y=x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D（－1，6）．求BC所在直线的方程．

【答案】10x－3y+8=0

【解析】如图，A（－4，－2），D（－1，6），

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由对称性求得A（－4，－2）关于直线y=x的对称点A＇（－2，－4）， D关于y轴的对称点D＇（1，6），

则由入射光线和反射光线的性质可得：过A＇D＇的直线方程即为BC所在直线的方程． 由直线方程的两点式得：

y?4x?2． ?6?41?2整理得：10x－3y+8=0．

例7．如图，某房地产公司要在荒地ABCDE上划出一块长方形土地（不改变方向）建造一幢8层的公寓，如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积．（精确到1 m2）

【答案】6017

【解析】 建立坐标系，则B（30，0），A（0，20）． ∴由直线的截距方程得到线段AB的方程为

xy． ??1（0≤x≤30）

3020设点P的坐标为（x，y），则有y?20?∴公寓的占地面积为

2x． 32220． S?(100?x)?(80?y)?(100?x)?(80?20?x)??x2?x?6000（0≤x≤30）

333502220∴当x=5，y?时，S取最大值，最大值为S???5??5?6000?6017(m2)．

33350即当点P的坐标为(5,)时，公寓占地面积最大，最大面积为6017 m2．

3【总结升华】本题是用坐标法解决生活问题，点P的位置由两个条件确定，一是A、P、B三点共线，二是矩形的面积最大．借三点共线寻求x与y的关系，利用二次函数知识探求最大值是处理这类问题常用的方法．